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Exercice de matrices

Posté par
Kekeee 14-04-20 à 13:33

Bonjour bonjour, je reviens encore avec mes matrices sur un autre exercice don voilà l'énoncé:

Soit A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} .On souhaite calculer An pour tout entier n. Posons n. Posons B=N+D, où :
D=\begin{bmatrix} 2 & 0& 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}
Et N=\begin{bmatrix} 0 & 1& 0\\ 0 & 0& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

1. Vérifier que DN=ND.

2. Calculer N2.

3. Démontrer que, pour tout entier naturel n2 on a:
An=(N+D)n=\begin{bmatrix} n\\ 0 \end{bmatrix} Dn+\begin{bmatrix} n\\ 1 \end{bmatrix} NDn-1

4. Calculer Dn pour n . En déduire l'expression de An pour tout n2.

5. L'expression de An calculée dans la question précédente reste-t-elle valable pour n=0, n=1 ?

Voilà, j'ai fait facilement la question 1 et 2. Cependant, je reste perplexe quant à la question 3, je m'explique: la première égalité me paraît évidente même sans récurrence car N+D=A, or la deuxième égalité me pose problème, dans mon énoncé je ne sais pas s'il s'agit de matrices ou de coefficients binomiaux devant la matrice Dn et devant le produit NDn-1... Ce qui me fait dire cela c'est que les matrices N et D sont de dimensions 3,3 alors que les « matrices » \begin{bmatrix} n\\ 0 \end{bmatrix} et \begin{bmatrix} n\\ 1 \end{bmatrix} sont de dimensions 2,1. Ainsi, il me semble que les multiplier entre elles est impossible?

Enfin voilà je bloque à la question 3.
Merci de votre aide et de votre compréhension par avance

Posté par
sanantonio312re : Exercice de matrices 14-04-20 à 13:45

Bonjour,
Qu'as-tu trouvé à la question 2?
Pour la 3, à première vue, essaie une récurrence.

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 13:52

Bonjour! Pour la question 2 j'ai trouvé que N2 était égale à la matrice nulle.

Pour la question 3 je comptais bien faire une récurrence pour la deuxième égalité... avez vous lu ce que j'ai écrit pour les « matrices » de dimensions 2,1 à la question 3? À savoir s'il s'agit de matrice ou de coefficients binomiaux?

Posté par
sanantonio312re : Exercice de matrices 14-04-20 à 13:54

Il ne s'agit à l'évidence pas de matrices 2x1
Ce sont donc bien des coefficients binimiaux

Posté par
sanantonio312re : Exercice de matrices 14-04-20 à 13:55

Je n'avais effectivement pas lu tes interrogations. Juste que tu bloquais à la question 3. Désolé.

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 14:28

Pas de soucis!! Merci à vous

Je vais essayer une récurrence et je vous tien au courant pour la suite.

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 15:32

Re, pouvez vous me donner des pistes pour la récurrence...

Voici en gros ce que j'ai fait:
J'ai dit que comme N+D=A
Alors: n,n2, An=(N+D)n
Ainsi j'ai vérifié la première égalité.

Pour la deuxième, je me suis dit que j'allais essayer de prouver l'égalité suivante;
n, n2, (N+D)n=\begin{bmatrix} n\\ 0 \end{bmatrix} Dn+ \begin{bmatrix} n\\ 1 \end{bmatrix} NDn-1

Je pense avoir réussi l'initialisation mais je bloque à l'hérédité... j'ai supposé mon égalité vraie et je cherche maintenant  à la démontrer pour n+1 en sachant que (N+D)n+1=(N+D)n(N+D) mais je ne m'y retrouve pas... merci

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 16:26

Svp?

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 17:44

...

Posté par
fenamat84re : Exercice de matrices 14-04-20 à 17:52

Bonjour,

La question 3, comme santonio312 que je salue le suggère, se fait par récurrence.
Puisque l'initialisation démarre à n=2, tu dois d'abord vérifier que :

A² = (N+D)² = D² + 2 ND car \begin{pmatrix}2\\ 0\end{pmatrix}=1 et \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=2
(ça je te laisse faire, ce n'est pas compliqué)

L'hérédité est plus difficile :
On suppose donc la proposition vraie au n. Montrons qu'elle est aussi vrai au rang n+1, à savoir :
An+1=(N+D)n+1= \begin{pmatrix} n+1\\0\end{pmatrix}Dn+1+\begin{pmatrix} n+1\\1\end{pmatrix}NDn.

Tu as donc :
An+1=(N+D)n*(N+D)
(N+D)n se calcule en utilisant la formule du binôme de Newton...
Après il faut aussi utiliser le fait que tes matrices N et D commutent (question 1), et que la matrice N est nilpotente d'ordre 2 (question 2)...

  

Posté par
fenamat84re : Exercice de matrices 14-04-20 à 18:02

Citation :
An+1=(N+D)n*(N+D)
(N+D)n se calcule en utilisant la formule du binôme de Newton...


Pas besoin de la formule du binôme de Newton même...
Développe simplement (N+D)n*(N+D) et ça devrait le faire...

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 18:07

Bonjour j'ai déjà précisé que j'avais réussi l'initialisation; lisez aussi mes messages svp.

En ce qui concerne la récurrence... je ne connais pas les termes «Binôme de Newton» et «nilpotente ». Je ne sais pas si c'est nécessaire à la récurrence... si ça l'ai je veux bien que vous me l'expliquer ou sinon je pourrais regarder seul sur internet.
De mon côté, j'ai essayé quelque chose pour l'hérédité mais j'arrive à :
An+1=Dn+1+(n+1)NDn+NnNDn-1

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 18:09

C'est ce que j'ai fait, j'ai développé (N+D)nx(N+D) mais je ne tombe pas sur le bon résultat... j'ai sûrement fait une erreur, je peux envoyer une photo de ce que j'ai fait svp?

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 18:12

Enfin non, moi je cherche à prouver la deuxième égalité, la première se prouve sans récurrence.... non? Puisque N+D=A donc pas besoin de récurrence... mais ça je l'ai déjà écrit plus haut.

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 18:18

L'hérédité que j'essaie de faire depuis un petit moment est de prouver que:
(N+D)n+1=\begin{pmatrix} n+1\\ 0 \end{pmatrix}Dn+1+\begin{pmatrix} n+1\\ 1 \end{pmatrix}ND(n+1)-1

Autrement dit que:
(N+D)n+1=Dn+1+(n+1)NDn

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 18:21

Et j'arrive à:

(N+D)n+1= Dn+1+(n+1)NDn+NnNDn-1

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 19:18

Svp?

Posté par
fenamat84re : Exercice de matrices 14-04-20 à 19:27

Tout compte fait, j'ai commis une erreur, il faut ici utiliser la formule du binôme de Newton pour pouvoir développer (N+D)n.

On a :
(N+D)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}N^kD^{n-k}
=\sum_{k=0}^1 \binom{n}{k}N^kD^{n-k}+\sum_{k=2}^n \binom{n}{k}N^kD^{n-k} (Je découpe la somme)

=\sum_{k=0}^1 \binom{n}{k}N^kD^{n-k} (car N est une matrice nilpotente d'ordre 2)

=\binom{n}{0}N^0D^n+\binom{n}{1}N^1D^{n-1}

=D^n+nND^{n-1}

Et là, on peut développer tranquillement :

(N+D)^{n+1}=(D^n+nND^{n-1})(N+D)
=D^nN+D^{n+1}+nND^{n-1}N+nND^n

Concernant le terme nND^{n-1}N, il est nul car ND^{n-1}=D^{n-1}N et que N² = 0.

Et là, il faut utiliser le fait que les matrices N et D commutent, donc ND=DN ou encore ND^n=D^nN

Et l'hérédité est démontrée.

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 19:56

J'aurais été dans l'incapacité d'utiliser le binôme de Newton car je ne l'ai jamais vu en cours
Je vous remercie pour cette partie. Je vais essayer reprendre ce que vous me donner ici pour prouver l'hérédité. Encore une fois, merci.

Posté par
fenamat84re : Exercice de matrices 14-04-20 à 20:09

Il faut retenir que pour pouvoir utiliser la formule du binôme de Newton concernant les matrices, il faut nécessairement que les matrices commutent !!
Sans quoi, tu ne peux prouver ta récurrence...

Et puis aussi, il te faudra justifier que si N et D commutent, alors Dn et N commutent aussi... ce que j'ai omis de signaler.
Cette justification est assez simple à démontrer, par récurrence aussi...

Posté par
fenamat84re : Exercice de matrices 14-04-20 à 20:18

Je pense que tu as dû voir la formule du binôme de Newton concernant des nombres réels...
Pour tous a et b réels, on a :

(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom {n}{k} a^kb^{n-k}

Ben pour les matrices c'est la même formule... à condition que les matrices A et B commutent bien évidemment...

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 21:08

Je pense que ça arrive bientôt, nous en sommes à la linéarité de matrice... je suppose qu'on verra le binôme pour les réels et les matrices en même temps... Je suis aller voir quelque vidéos mais ça reste encore flou... le binôme de Newton ça consiste à mettre sous la forme de somme de produits une somme de membres à une certaine puissance?

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 22:12

Pour la question 5) il est possible que l'expression de An trouvée à la question 4) ne soit pas valable pour n=0 et n=1?

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 22:13

Car je trouve quelque chose qui n'est pas valable avec comme expression:
n, n2, An=\begin{bmatrix} 2^n & 0 & 0\\ 0& 2^n& \\ 0& 0& 3^n \end{bmatrix}

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 14-04-20 à 22:16

AH! Je me suis trompé lors du calcul de An

Posté par
fenamat84re : Exercice de matrices 15-04-20 à 00:10

D'après la question 3, tu as pour tout entier naturel n2 :

A^n=D^n+nND^{n-1}

Or : D^n=\begin{pmatrix}2^n&0&0\\0&2^n&0\\0&0&3^n\end{pmatrix} ; D^{n-1}=\begin{pmatrix}2^{n-1}&0&0\\0&2^{n-1}&0\\0&0&3^{n-1}\end{pmatrix}

Ainsi : ND^{n-1}=\begin{pmatrix}0&2^{n-1}&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

et A^n=\begin{pmatrix}2^n&n2^{n-1}&0\\0&2^n&0\\0&0&3^n\end{pmatrix}

Et on voit que cette matrice An reste valable pour n=0 et pour n=1 !
En effet, si n=0, ben alors on retrouve la matrice identité d'ordre 3. D'ailleurs, toute matrice à la puissance 0 donne la matrice identité !
Et si n=1, eh ben on retrouve bien la matrice A de départ...

Posté par
Kekeeere : Exercice de matrices 15-04-20 à 14:20

Merci j'avais trouvé hier soir!
Merci beaucoup pour votre aides de qualité!
J'ai pu mener à bien ma petite récurrence et l'exercice en lui même.
Merci beaucoup fenamat84


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