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exercice de spé maths sur les nombres premiers
Bonjour à tous et bonne année avant toute chose!
Je dois rendre cet exercice à la rentrée etj'ai quelques petits soucis.J'espère que la longueur du post ne vous fera pas fuir.Merci d'avance pour votre aide!
On se propose de prouver qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 6k+5.
1)Montrer que tout nombre premier autre que 2 et 3 est de la forme 6k+5 ou 6k+1 où k est un entier naturel (là pas de problème)
2)On formule l'hypothèse H selon laquelle il existe un nombre fini de nombres premiers de la forme 6k+5 que l'on nomme p1 , p2 ... pn .
on considère l'entier N=6p[/sub]1p[sub]2...pn -1
a)Justifier que N
-1 (mod6)
(là, j'ai utilisé la compatibilité de la congruence avc les opérations: 6p1p2...pn0 (mod6) et -1-1 (mod6) donc N congru à -1)
b)En déduire que N est de la forme 6k+5 avec k entier naturel puis qu'il ne peut être premier
là, j'ai mis N-1 (mod6) donc N=6k-1 et donc si on veut avoir la DE par 6, on ajoute 6 de chaque côté, ce qui donne N=6k+5 (là je ne suis pas très sûre, je trouve que c'est assez approximatif et bizarre comme méthode) par contre, je ne vois pas bien comment démontrer qu'il ne peut être premier.Peut-être en disant
que N supérieur à pn et pn est le plus grand nombre premier de la forme 6k+5 donc N n'appartient pas à l'ensemble des premiers de la forme 6k+5?
c)Montrer qu'aucun des nombres p1,p2...pn ne divise N et en déduire que tous les diviseurs premiers de N sont de la forme 6k+1 avec k entier naturel.
Pour la première partie de la question, j'ai du mal. Tout ce que j'ai trouvé pour l'instant, c'est p1,p2...pn divisent 6(p1p2...pn) mais pas -1 donc N-1 (mod p) donc N n'est pas divisible par p1,p2...
Pour la 2e partie:
J'utilise le fait que tout nombre premier est de la forme 6k+1 ou 6k+5 or N=6k+5 et il n'est pas divisible par p1,p2...pn
donc p1,p2...pn ne sont pas de la forme 6k+5 , comme ils sont premiers ils sont de la forme 6k+1 (là encore je doute)
Montrer, en utilisant la décomposition en facteurs premiers de N que N1 (mod6)
Euh là je ne vois pas bien...
3)Conclure sur la validité de l'hypothèse H
Là c'est facile, la réponse est au début de l'énoncé:H est fausse.
bonsoir,
b) cela suffit
Je note E l'ensemble établit suivant l'hypothèse H.
alors E est fini et admet un plus grand élément . N >
donc il n'appartient pas à E et s'écrit sous la forme 6k+5 donc il n'est pas premier.
c)
quelque soit le nombre premier p de E, p divise or aucun nombre premier ne divise 1 donc N n'est divisible par aucun nombre premier de E.
or N n'est pas premier donc nécessairement divisible par un nombre premier. comme il n'est divisible par aucun nombre premier de la forme 6k+5 il est nécessairement divisible par ceux de la forme 6k+1. (parce que les nombres premiers s'écrivent que sous la forme 6k+5 ou 6k+1)
d) tu décomposes N en produit de facteurs premiers. or chaque nombre premier somposant N s'écrit sous la forme 6k+1.
donc avec q_i premiers pour tout i.
et pour tout i
<=>
Bonjour a vous tous et bonne année !
J'ai aussi reçu ce DM a faire durant les vacances de Noel , mais malheureusement , je n'arrive pas la question 1) :
Montrer que tout nombre premier autre que 2 et 3 est de la forme 6k+5 ou 6k+1 où k est un entier naturel
Pourriez-vous m'aidez s'il vous plait ?
bonjour
les restes de la division d'un entier par 6 sont 0,1,2,,3,4,5
donc tout entier est de la forme 6k;6k+1;6k+2;6k+3;6k+4;6k+5 k€N
or pour tout k € N 6k;6k+2;6k+4 sont divisibles par 2 et 6k+3 est divisible par 3
un nombre 1er différent de 2 et 3 est bien de la forme 6k+1 et 6k+5 avec k € N
bon courage
Ah ! Merci ! Que je suis bête ! On l'avais vu en classe... 
J'avais complétement oublié cette méthode.
Merci encore !
Je suis encore en détresse... 
La question 3 nous dit :
3)Conclure sur la validité de l'hypothèse
Mais je ne vois pas comment justifier qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 6k+5 . Certes cela est marqué dans l'énoncé , et je comprends très bien qu'il en existe une infinité, mais comment puis-je le justifer dans cette question ? Je dois m'aider des résultats obtenus précédemment , comme d'habitude ,mais je ne vois pas du tout la façon de procédé...
Merci d'avance!
En fait c'est une démo par l'absurde.
On te fait prouver que N1 [6] puis qu N-1 [6] or 1 et -1 ne sont pas congrus modulo6.
Merci Brocéliande ! Je ne pensais plus a ce résulat-ci ! Il est enfin fini ce DM !
Merci a tout ceux qui m'ont aidé !
Bonne soirée a tous !
Bonjour j'ai exactement le même dm, est ce que quelqu'un peux m'expliquer comment faire la question b car même en lisant les réponses ci-dessus je ne comprend pas .
Merci d'avance pour votre aide
bonjour
On sait que que N est congru à -1(6) (1)
On a 0 est congru à 6 (6) (2)
Par addition de (1) et (2) on obtient N congru à 5 (6) N est donc de la forme 6k+5
comme i=1,2,.....,n pi>1 alors 6pi>6, 6pip1>6p1 donc 6pip1>6p1-1 >p1 donc
N=6p1P2......pn-1> à tous les pi et de la forme 6k+5 ,donc N n'est pas premier
Bon courage
Bonjour :
Pour la question b, on me demande de justifier par l'absurde que N n'est pas premier.
Comment ça marche ?
Merci
Bonjour
Pour démontrer qu'une proposition P est vraie ,on peut utiliser un raisonnement par
l'absurde . Pour cela on suppose que P est fausse et on démontre que l'on aboutit alors
à une contradiction
Bon courage
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