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Exercice de spécialité

Posté par
jean555 09-10-10 à 10:22

Bonjour à vous!

J'ai quelques soucis pour résoudre des exercices de spécialité sur les congruences, je vous serais très reconnaissant de pouvoir m'éclairer.

1) Etudier selon l'entier naturel n, le reste de la division euclidienne de n²-3n par 5
2) Determiner tous les triplets (x,y,z) d'entiers naturels verifiant 6x+7y+8z=57

Merci de me donner des pistes!

Posté par
Labore : Exercice de spécialité 09-10-10 à 10:29

Bonjour
1)tu étudies tous les cas  
\rm si n\equiv 0 [5] alors n^2\equiv 0 [5] et -3n\equiv 0 [5] \\ donc n^2-3n\equiv 0 [5] \\ si n\equiv 1 [5] alors n^2\equiv .. [5] et -3n\equiv ..[5] \\ donc n^2-3n\equiv..[5] \\ si n\equiv 2 [5] alors n^2\equiv .. [5] et -3n\equiv ..[5] \\ donc n^2-3n\equiv..[5] \\ si n\equiv 3 [5] alors n^2\equiv .. [5] et -3n\equiv ..[5] \\ donc n^2-3n\equiv..[5] \\ si n\equiv 4 [5] alors n^2\equiv .. [5] et -3n\equiv ..[5] \\ donc n^2-3n\equiv..[5]

Posté par
jean555re : Exercice de spécialité 09-10-10 à 10:39

Merci!

J'étudie tous les cas jusqu'à n congru à 5 (5)?

Posté par
Labore : Exercice de spécialité 09-10-10 à 10:55

dans la division euclidienne par 5 le reste peut-il être égal à 5?
rappel division euclidienne de a par b
a=bq+r avec 0≤r<b

Posté par
jean555re : Exercice de spécialité 09-10-10 à 11:04

Exact, dans la division euclidienne par 5 les seuls restes possibles sont 0,1,2,3,4 donc je me contente d'étudier les cas allant de n=0 à n= 4.

Pour le deuxieme exercice, quelle est la méthode à adopter?

Merci de votre soutient

Posté par
Labore : Exercice de spécialité 09-10-10 à 11:09

pour la 2)
57=0*6+7*7+1*8
57=1*6+5*7+2*8
57=2*6+3*7+3*8
57=3*6+1*7+4*8

Posté par
jean555re : Exercice de spécialité 09-10-10 à 11:18

Pour trouver les couple (x,y,z) il faut y aller en tatonnant donc? ou est qu'on utilise une règle précise sur les congruences?

Merci à vous

Posté par
Labore : Exercice de spécialité 11-10-10 à 09:52

bonjour,
un peu en retard...
0≤x≤9
0≤y≤8
0≤z≤7
6x+7y+8z=57
6x+(6+1)y+(6+2)z=9*6+3
6(x+y+z)+y+2z \equiv 3 (6)
y+2z\equiv 3 (6)
y\equiv 1 (6) et z\equiv 1 (6)
y=1 et z=1 6x+7+8=57==>x=7
ou y=7 et z=1 et 6x+7*7+8=57==>x=0
y\equiv 2 (6) et 2z\equiv1 impossible (y ne peut pas etre pair)
y\equiv 3 (6) et z\equiv 0 (6)
y=3 et z=0
6x+3*7+0*8=57==>x=6
ou y/equiv 3 (6) et z\equiv 3 (6)
6x+3*7+3*8=57==>x=3
y\equiv 5 (6) et z\equiv 2 (6)
y=5 et z=2
6x+5*7+2*8=57==>x=1
sauf erreur

Posté par
Labore : Exercice de spécialité 11-10-10 à 09:55

\rm ou y/equiv 3 (6) et z\equiv 3 (6)
6x+3*7+3*8=57==>x=3
y\equiv 5 (6) et z\equiv 2 (6)
y=5 et z=2
6x+5*7+2*8=57==>x=1
sauf erreur

Posté par
Labore : Exercice de spécialité 11-10-10 à 09:57

Posté par ProfilLabo Labo

\rm ou y\equiv 3 (6) et z\equiv 3 (6) \\ y=3 et z=3 \\ 6x+3*7+3*8=57==>x=3

Posté par
jean555re : Exercice de spécialité 16-10-10 à 11:54

Merci à vous!


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