Bonsoir,

Qu'as-tu déjà fait ?
Rappel : Ce site est destiné à t'aider, pas à faire le travail à ta place...

Oui, pardon je n'est pas précisé que je ne sais pas encore par où commencer :s

Par le début !
On te dit par récurrence, donc initialisation avec U et V, l'hypothèse de récurrence sur U^n et V^n est fournie, calcul de U^(n+1) et V^(n+1), l'hypothèse de récurrence est-elle vérifiée au rang n+1 ?

Je ne voi vraiment pas comment faire.

Initialisation:

u^0=(2+3)^0=1
v^0=(2-3)^0=1

Je doit commencer comme ça ?

Oui.
Ensuite
U^1 = 2+3
V^1 = 2-3
Donc a_1 = 2 et b_1 = 1
On suppose
U^n = a_n + b_n3
V^n = a_n + b_n3
On a alors
U^(n+1) = U^n.U^1 = (a_n + b_n3)(2+3)
V^(n+1) = V^n.V^1 = (a_n - b_n3)(2-3)
Tu développes et tu en déduis les formes de a_n+1 et b_n+1 en fonction de a_n et b_n

u^(n+1)=u^n.u^1=(a_n + b_n3)(2+3)
v^(n+1)=v^n.v^1=(a_n - b_n3)(2-3)

u^(n+1) = 2a_n + a_n3 + 2b_n3 + 3b_n = a_n(2+3) + b_n(3+23)
v^(n+1) = 2a_n - a_n3 - 2b_n3 + 3b_n = a_n(2-3) + b_n(3-23)

Mais ce qui me gène c'est les (3+23) et (3-23)

C'est ça ?

Tu dois regrouper tous les termes qui contiennent 3 d'un côté, et tous ceux qui ne le contiennent pas de l'autre.

u^(n+1)=3(a_n + 2b_n) +2a_n +3b_n
v^(n+1)=3(-a_n - 2b_n) +a_n +3b_n

Oui.
Donc :
a_n+1 = 2a_n +3b_n
b_n+1 = a_n + 2b_n
Attention, faute dans ton V^(n+1), c'est 2a_n

mais je ne voi pas comment vous passer de:
u^(n+1)=3(a_n + 2b_n) +2a_n +3b_n
v^(n+1)=3(-a_n - 2b_n) +2a_n +3b_n

à

a_n+1 = 2a_n +3b_n
b_n+1 = a_n + 2b_n

A chaque étape, le terme en a est le multiplicateur de 3, et le terme en b est tout le reste.

Je vois vraiment pas comment vous faites mais j'ai travaillé la question et je suis arrivé à :

u^(n+1) = 2a_n + a_n3 + 2b_n3 + 3b_n
        = a_n(2 + 3) + b_n3(2 + 3)
        = a_n * u + b_n3 * u
        = u(a_n + b_n3)

et pour v^(n+1)

v^(n+1) = a_n(2-3) - b_n3(2 - 3)
        = a_n * v - b_n3 * v
        = v(a_n - b_n3)

Ca fonctionne aussi comme ça ?

Oui mais ce n'est pas ce qu'on te demande.

Sayai je pense avoir fini par répondre à la question 1 entièrement:

Initialisation:

u^1= 2 + 3
v^1= 2 - 3

a_1=2
b_1=1

On a bien a_1 et b_1 2 entiers positifs.

Hérédité:

u^(n+1) = u^n * u^1 = (a_n + b_n3)(2 + 3)
v^(n+1) = v^n * u^1 = (a_n - b_n3)(2 - 3)

= 2a_n + a_n3 + 2b_n3 + 3b_n
= 2a_n - a_n3 - 2b_n3 + 3b_n

= 2a_n + 3b_n +3(a_n + 2b_n)
= 2a_n + 3b_n -3(a_n + 2b_n)

= a_(n+1) + b_(n+1)V3
= a_(n+1) - b_(n+1)V3

Conclusion Si u^(n+1)=a_(n+1) + b_(n+1)3 et v^(n+1)=a_(n+1) - b_(n+1)3 alors u^n= a_n + b_n3 et v^n=a_n - b_n3

Expression de a_(n+1) et b_(n+1) en fonction de a_n et b_n:
a_(n+1)=2a_n + 3b_n
b_(n+1)=a_n + 2b_n

2) a_n*b_(n+1) - a_(n+1)*b_n = a_n² - 3b_n² (j'ai remplacé a_(n+1) et b_(n+1))

et ensuite je ne comprend pas comment faire pour montrer que c'est égal à 1

Par récurrence descendante de n à 1.
En utilisant :
a_n = 2a_n-1 + 3b_n-1
b_n = a_n-1 + 2b_n-1
montre que :
a_n² - 3b_n² = a_n-1² - 3b_n-1²
et descend jusqu'à :
a₁² - 3b₁²
que tu peux calculer.

Si a_(n+1) = 2a_n + 3b_n et b_(n+1) = a_n + 2b_n alors
a_n = 2a_(n-1) + 3b_(n-1)

donc a_n² - 3b_n² = a_(n-1)² - 3b_(n-1)

Nous pouvons ainsi remonter jusqu'au rang n=1

On sait que a_1 = 2 et b_n1 = 1
on a donc 2² - 3*1² = 1

C'est la seule solution possible ?

Je ne sais pas, mais c'est probablement la plus simple.

J'ai trouvé aussi a=7 et b=4 qui corresponde.

Dans la suite de la question il faut utiliser le théorème de bezout ?

Oui, c'est très bien ! Et deux fois de suite...

Je vois ce que tu veux dire avec a = 7 et b = 4. Mais on ne te demande pas de trouver toutes les solutions entières de a²-3b² = 1...

Si PGCD(a_n,b_n)=1 alors d'après le théroème de Bezout on a u*a_n + v*b_n=1 , n'est ce pas ? Mais ici on a pas de valeur précise alors comment trovuer u et v ?

Le théorème de Bezout te dit :
Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs x et y tels que a.x + b.y = 1
Mais si une telle égalité existe, tu peux en déduire que a et y sont aussi premiers entre eux, ainsi que b et x, ainsi que b et y.

Tu as montré que :
a_nb_n+1 - a_n+1b_n = 1

Applique le théorème en choisissant a, b, x, y, parmi a_n, b_n, a_n+1, b_n+1

a=a_n , b=b_n , x=b_(n+1) , y=a_(n+1)

a.x + b.y = 1

correspond à:

a_n.b_(n+1) - b_n.a_(n+1) = 1

Le seul soucis c'est que nous avons un (-) a la place d'un (+), mais je suppose que sa ne change rien, si ?

a_n, b_n, a_(n+1) et b_(n+1) sont tous 4 des entiers on peut donc dire d'après le théorème de Bezout que a_n est premier avec b_n mais aussi avec a_(n+1) et que b_n est premier avec a_n mais aussi avec b_(n+1).

C'est bon, et le (-) ne change rien car le th. de Bezout parle d'entiers relatifs.

Ah oui il comprend donc tous les entiers. Merci !

3) On a dit que a_n + b_n était égal à a_(n+1) + b_(n+1)3 ?

Non, on n'a pas dit ça.
On a dit que :
uⁿ = a_n + b_n3
vⁿ = a_n - b_n3
Sachant que u = 2+3 et v = 2-3, quelles sont les limites de uⁿ et vⁿ ?

Pour passer de u^n à u^(n+1) on multiplie par 2+3 la suite est donc géométrique de raison 2+3, la raison q>1 donc la limite de la suite u^n est +oo

Pour v^n on multiplie par 2-3 c'est donc aussi une sutie géométrique mais de raison q=2-3 qui est compris dnas l'interval [-1;1] la suite tend donc vers 0.

C'est exact.

a_(n+1) = 2a_n + 3b_n
b_(n+1) = a_n + 2b_n

Elle sont arithmètiques ? je n'arrive pas vraiment à voir.

a_(n+1)= a_n *2+3b_n
b_(n+1)= b_n *2+a_n

Non.
De
uⁿ = a_n + b_n3
vⁿ = a_n - b_n3
tu peux déduire, par addition et soustraction des deux lignes, a_n et b_n en fonction de uⁿ et vⁿ
et comme tu as trouvé les limites de uⁿ et vⁿ, tu peux en déduire celles de a_n et b_n

u^n= a_n + b_n3
v^n= a_n - b_n3

Ensuite je doit exprimer a_n et b_n en fonction de u^n et v^n ?

a_n = u^n - b_n3
a_n = v^n + b_n3

v^n - u^n + 2b_n = 0
b_n = (u^n - v^n)/2

lim b_n = (+oo - 0)/2 = +oo

Je ne suis pas sûre de se que je vien de faire là.

Non en + je voi que j'ai fait disparaitre la 3 x'D !

a_n = u^n - b_n3
a_n = v^n + b_n3

v^n - u^n + 2b_n3 = 0
b_n = (u^n - v^n)/23

lim b_n = (+oo - 0)/23 = +oo

Et pour a_n je trouve:

a_n = (u^n+v^n)/2

lim a_n = lim (u^n+v^n)/2 = (+oo+0)/2 = +oo

Mais je ne suis vraiment pas sûre de mes résultats à propose de cette question.

En additionnant :
a_n = (uⁿ+vⁿ)/2 -> +oo
En soustrayant :
b_n = (uⁿ-vⁿ)/3 -> +oo

Tu avais bon

Ah daccor je n'avai pas compris cela comme ça, la fatigue commence à me prendre et je me lève dans 4 heures je vous dit donc bonne nuit et merci beaucoup  de votre aide !

OK bonne nuit.
Pour la suite :
w_n = a_n/b_n = 3.(uⁿ+vⁿ)/(uⁿ-vⁿ) = 3.(1+(v/u)ⁿ)/(1-(v/u)ⁿ)
et 0 < v/u < 1 => (v/u)ⁿ) -> 0
donc la limite de w_n = a_n/b_n est 3

Pour b_n je ne trouve pas b_n = (u^n-v^n)/3 mais b_n = (u^n-v^n)/23, lequel est le bon :s ?

Pour Wn je trouve aussi 3

a_8 = 18817 et b_8 = 10864

u^8 37634

a_8/b_8 1.7320508 3.

Vous êtes daccor ?

Tu as raison pour b_n = (uⁿ-vⁿ)/(23)
Tu as aussi raison pour lim Wn = 2
Pour la fin, c'est partiellement bon, on te demande :

Citation :
Calculer a8, b8, donner une valeur approchée de u^8 et en déduire que a8/b8 est une valeur approché rationnelle de 3 avec une précision supérieur à 10^-7.