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Exercice de spécialité mathématique-Matrices
Bonjour,
je bloque vraiment sur cette exercice de spé mais j'ai comme même essayer de faire quelques questions où j'espère avoir une confirmation ^^
Soit A(3 2) I (1 0) J (1 1)
(2 3) (0 1) ( 1 1)
1. Soit n un entier naturel au moins égal a 1.
Conjecturer puis démontrer une expression de J^n en fonction de n et de la matrice J.
2. Exprimer A, A^2, A^3 en fonction es matrices I et J.
3. Vérifier que pour tout entier naturel n≥1, on a:
A^n=I+((5^n-1)/2)*J >>>>>>>>>>la je sais qu'il faut utiliser la récurrence mais je bloque dans l'hérédité ...
4. Soit u et v deux suites telles que u0=2 et v0=4 et pour tout entier n≥1:
Un=3U(n-1)+2V(n-1) et Vn=2U(n-1)+3V(n-1)
Écrire un PROGRAMME pour la calculatrice dont l'entrée est un entier naturel non nul n en affichant des valeurs approchées de un et vn. et exprimer Un et Vn en fonction de n.
>>>>>>>>ici j'ai penser au fait que (Un Vn) =A( Un-1 Vn-1) donc Un=Uo*A^n et Vn=Vo*A^n mais je ne suis pas sur...
merci d'avance à ceux qui me répondrons 
salut
peut-être nous donner les résultats intermédiaires ...
et sauter des lignes afin de rendre lisible ton énoncé ....
Bonjour, pour la récurrence de la question 3.
Initialisation triviale.
Hérédité :
Or donc
En arrangeant on trouve bien
Donc la récurrence est établie !
merci de vos réponses ... CAPEDIEM en fait je n'arrive pas à faire les 1ERES QUESTIONS c'est pour ça que je n'est pas mis de résultats intermédiaires ^^ ne pleure pas voyons
Alexll7 MERCI pour ta réponse mais dit moi comment et pourquoi tu part de I+((5^n-1)/2)*J *(2J+I) ??
Je dois avouer que j'ai un peu "balancé" la réponse je suis désolé carpediem...
Quel est l'expression de A en fonction de I et J ?
Quel est l'expression de A en fonction de I et J ?
on nous la donne pas...
ben justement c'est la question !!!!
mais il suffit de regarder les matrices A, I et J pour trouver cette relation entre A, I et J !!!
ensuite A2 et A[/sup] s'en déduisent alors trivialement !!!!
et la question 3/ devient alors triviale !!!
quant à la question 1/ qu'attends-tu de même pour calculer J[sup]2 et J3 pour voir que ....
Quel est l'expression de A en fonction de I et J ?
on nous la donne pas...
ben justement c'est la question !!!!
mais il suffit de regarder les matrices A, I et J pour trouver cette relation entre A, I et J !!!
ensuite A2 et A3 s'en déduisent alors trivialement !!!!
et la question 3/ devient alors triviale !!!
quant à la question 1/ qu'attends-tu de même pour calculer J2 et J3 pour voir que ....
1.donc pour la une sa va faire J^1=(1 1) J^2=(2 2) J^3=(3 3) ... donc on peut dire que J^n=(n n) ?
(1 1) (2 2) (3 3) (n n)
mais en fonction de J... sa donnerai J^n=n*J ???
2. sa donnerai A= I+2J c'est ça ?
donc si on met A² sa va faire... A²=I²+4J² et A^3=I^3+8J^3 ??
3. ah oui d'accord je comprend mieux maintenant d'où sort le (I+2J) ^^
mais pourquoi partir de partir du résultat donné multiplier par 2J+I ??
merci
1/ bon alors prouve le maintenant ....
2/ enfin !!!
par contre revois tes identités remarquables .....
3/ ben parce que tu veux une relation donnant An en fonction de I et J !!!!
1. pour le démontrer: J^n=n*J
je multiplie la matrice J par n pour trouver (n n) ? mais pour J^n je fais comment ?
(n n)
2. ah oui désolé donc sa fait A²=(2J+I)²= 4J²+4JI+I² et A^3= (2J+I)^3 donc (2J+I)²*(2J+I)=(4J²+4JI+I²)*(2J+I)=8J^3+4J²I+8J²I+4JI²+2JI²+I^3=8J^3+I^3+12J²I+6JI² ?
3. d'accord mais comment passe-t-il de la multiplication du résultat donner par 2J+I à l'égalité qui suit, 2J+...
hypothèse :
...
2/ un peu de sérieux :: il faudrait peut-être aller au bout des calculs !!!!
3/
hypothèse :
1. donc J^n.J=J.n.J = ?
je ne vois pas à quoi ça pourrait nous mener...
2.comment ça ? je factorise ? =IJ(8J²+I²+12J+6I)
3. D'accord j'ai compris merci 
normalement oui... par exemple, pour J² j'ai multiplier la matrice J par elle même ce qui nous donne donc (2 2)
(2 2)
c'est pas bon ?
ha enfin ....
donc conjecture expression de Jn en fonction de n et J ?
et si tu ne vois pas alors calcule J4 ...
oui désolé, c'est J^4(8 8)
(8 8)
je ne vois qu'un lien entre toutes les matrice de Jn C'est J*2 donne J² et ainsi de suite mais un lien avec n je ne vois vraiment pas..
je suis désolé.. j'y aurai jamais penser à utiliser une puissance ... :'(
donc pour démontrer je fais J^n+1=J^nJ=2n-1*J² ?
Je suis bloqué sur la récurrence de Alexll quand je développe le produit je trouve 2JI+I^2+J^2*(5^n-1 )+ (5^n-1/2)*JI j'essaye de simplifier par I mais sa marche pas... 
Salut, j'ai lu vite fait tes questions et les réponses, en particulier celle de la récurrence d'Alexll est un cadeau pour toi : il a tout détaillé !
Vu ta question, je te conseille de remarquer quelques petits trucs très importants :
- La matrice est une matrice particulière appelée matrice identité qui a la propriété d'être le "1" de la multiplication pour les matrices : cela veut dire que si tu multiplies n'importe quelle matrice par la matrice identité, le résultat est la matrice de départ, c'est-à-dire pour toute matrice
,
et
Ainsi, tes "simplifications" dans la ligne que tu as écrite, c'est juste ,
.
- Un autre point : tu as écrit "j'essaye de simplifier par I" : on NE peut PAS simplifier par une matrice dans un calcul entre matrices : dire que n'implique certainement pas
! Attention à ça.
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