C'est pas compliqué !
Il faut tout d'abord savoir que PGCD(a,b)*PPCM(a,b)=ab
Votre équation devient donc en notant p=PGCD(a,b) et q=PPCM(a,b)
2(ab/p)+3p=78 soit 2ab+3p²=78p
Or p divise a et b donc p² divise ab. p² divise 3p² donc p² divise 78p
donc p divise 78 (que l'on peut voir plus rapidement !)
Or 78=2*3*13 (décomposition en facteurs premiers)
Par conséquent, les valeurs possibles pour p sont :
1 ou 2 ou 3 ou 6 ou 13 ou 39 ou 26 ou 78 (il y a 8 diviseurs en tout)
On est alors ramené à résoudre plusieurs équations
Je commence ... vous terminez !
p=1 alors 2q=75 impossible car q entier
p=3,13 ou 29 impossible pour la même raison
reste p=2,6,26 et 78
p=26 alors 3p=78 et q=0 impossible (réflechissez...)
si p=78 alors q négatif, impossible, a et b entiers naturels.
RESTE 2 possibilités :
Si p=2 alors q=36 alors a*b=72=2*2*2*3*3
Si p=6 alors q=30 alors a*b=180=2*2*3*3*5
Reste maintenant à analyser dans les deux cas les valeurs possibles pour
a et b (faites un tableau), avec a<b (cela enlève toutes les solutions
symétriques) et la condition a ne divise pas b.
Bon courage !

De retour !
Finalement ma calculatrice donne (trop long à la main) : les seuls couples réalisant
les conditions précédentes et compatibles avec l'énoncé sont
(2,36) - (4,18) et (6,30) avec en premier la valeur de a et en second
celle de b ! Sur ces 3, seule la solution (4,18) est telle que a=4
ne divise pas b=18.
Voila !

merci c'est vraiment gentil de m'avoir filé un coup de
main cependant es-ce que c'est une méthode à connaitre et que
l'on peut appliquer à chaque fois??
encore merci beaucoup !!!!

Ce type d'exercice est classique en terminale S option maths
et je les propose de façon quasi-systématique à mes élèves. Il y
a quelquefois des solutions plus "simples" ou "rapides" mais
glogalement la méthode reste la même : exploiter au maximum la divisibilité
en considérant le PGCD puis énoncer toutes les valeurs possibles
de ce dernier en organisant les résultats dans un tableau (ce qui
parfois se révèle être très laborieux !).
Consultez votre livre de cours qui doit contenir sûrement un bon nombre d'exemples
de ce genre. Concernant le BAC, lisez l'épreuve de PONDICHERY
1999 (annales Hatier), vous verrez que même au mois de juin vous
avez une probabilité non nulle de tomber sur un exercice de ce type
!
Voila !

JE vous remercie encore !! J'ai l annale hatier de maths d ailleurs
j'ai toutes les annales immaginable en maths!!
je vais regarder dedans !!
aurevoir !!