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Exercice démonstration similitude
Bonjour, voila un exercice qui me donne un peu de mal, il a l'air simple, c'est un petit détail que j'ai raté je pense.
On sera contrôlé jeudi alors j'aimerai l'avoir fait si possible en plus.
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Soit A et B deux points du plan et 
un réel qui n'est pas un multiple de 2
.
On notera rA la rotation de centre A et d'angle et rB la rotation de centre B et d'angle -.
1) Justifier que rA o rB et rB o rA sont des translations.
(c'est logique mais je ne vois pas le petit truc pour démontrer)
2) En considérant l'image de B par ces transformations, déterminer une condition nécéssaire et suffisante pour que rA o rB = rB o rA.
Il faut que les deux rotation aient le même centre?
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Merci D'Avance.
Voila mes réponses, que je viens de trouver...
1) rA et rB ne commutent pas car elles n'ont pas le même centre mais je peux écrire que l'angle de rA o rB est égal à l'angle de rB o rA, soit téta = - = 0 radian.
Cela me permet de justifier le fait que rA o rB et rB o rA sont des translations.
2) Aucune idée, j'ai fait un petit schéma que je mes ci dessous :
J'attends les indications.
Bonjour,
2)
Donc si , alors
donc
, c' est à dire
comme n' est pas un multiple de
, alors nécessairement,
Réciproquement si , on a bien
C' est d' ailleurs l' identité du plan.
Bonjour,
Pose a = ei, alorz les rotations rA et rB sont :
rA : Z' = A + a(Z-A)
rB : Z' = B + (1/a)(Z-B)
et donc :
rAorB : A + a(B + (1/a)(Z-B) - A) = A + aB + Z-B -A/a = [A(1 - 1/a) + aB] + Z, c'est bien une translation de vecteur A(1 - 1/a) + aB
De la même façon, tu peux établir rBorA.
Les deux opérations commuteront quand les vecteurs de translation seront égaux, et écrivant cette égalité tu auras une condition entre a, A et B.
Pour pousser le calcul jusqu'au bout :
rBorA = B + (1/a)(A + a(Z-A)) = B + A/a + Z-A = [B + A(1/a - 1)] + Z
Et la condition de commutation est :
A(1 - 1/a) + aB = B + A(1/a - 1)
2A(a-1)/A + (a-1)B = 0
On sa
Bon, en faisant le calcul proprement on arrive à :
vecteur de translation de rAorB : (1-a)(A-B)
vecteur de translation de rBorA : (1-a)(A-B)/a
et l'égalité nous donne :
(1-a)(1 - 1/a)(A-B) = 0
et non multiple de 2 
a 
1 donc 1/a 1 donc A = B
Ouf 
>> LeHibou
Il m' arrive très souvent la même mésaventure à savoir, lorsque je tape au clavier du côté du "a", je tappe aussi une touche (je ne sais pas laquelle) qui envoie le message prématurément.
Je me suis reconnu avec ton:
on sa
Couic!
Hé oui... A ceci près que toi tu dois avoir des droits d'administrateur qui te permettent de rectifier le tir 
D'accord, c'est noté.
Pouvez-vous me confirmer que ma réponse à la question 1 est correcte ?
C'est-à-dire que l'angle de s1 o s2 = angle s2 o s1 même si s1 et s2 ne commutent pas ?
C'est exact, mais tu ne l'as pas vraiment démontré, reprends les posts de cailloux ou les miens pour des vraies démonstrations.
Avec les écritures complexes, a montré que
et
sont des translations.
On peut s' y prendre autrement.
Soit et
2 points distincts du plan:
et
on a donc
et
on a donc
et
Si bien que
De plus est une isométrie en tant que composée de 2 similitudes directes de rapport 1.
Donc
On a donc et
est un parallélogramme.
Autrement dit est un vecteur indépendant de
et
est donc une translation.
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