Bonjour

La droite est croissante, (3 ; 6) est dans l'énoncé, je ne sais pas si cela répond à votre question je n'ai pas bien compris.

Comment peut-on savoir si une courbe d'équation  y = f(x) passe par une point de coordonnées (m; p) ?

Un point appartient à une droite si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite, c'est ce qu'il faut faire ici, remplacer dans l'équation f(x) = 2xa + b pour trouver 0 ?

Mais  2ax + b , c'est l'expression de   f '(x) , la dérivée de f(x).
Ce qu'il faut considérer ici, c'est f(x) , dont les variations sont représentées par la courbe Cf.

Mais je ne vois pas pourquoi il faut vérifier que le point passe par la droite, c'est écrit dans l'énoncé ?

Je dois remplacer dans f(x) = ax² + bx + c ? Je trouve 6...

2.a) Comment vas-tu écrire que la courbe Cf d'équation  y = ax² + bx + c  passe par le point (3; 6) ?

La courbe passe par le point si  f(3) = 6 ?

Oui. Développe f(3).

f(x) = ax² + bx + c
6 = 3² + 3
= 12-6 = 6 mais ensuite ?

Je ne comprends pas : les coefficients a, b et c ont disparu !
Quand, dans l'expression de f(x), on remplace  x  par 3 pour calculer f(3), les coefficients demeurent à leur place . . .

f(x) = ax² + bx + c
6 = 3a² + 3b + c
6 = 9a + 3b + c
-c = 9a + 3b - 6 (?) donc c = -9a - 3b + 6 ?

La 3ème ligne est fausse, mais la 2ème est juste; c'est l'équation que les coefficients a, b et c doivent vérifier pour que la courbe Cf passa par le point (3; 6).

Il faut maintenant considérer l'autre condition, relative à la tangente à Cf au point d'abscisse 0.
A cet effet, écris l'équation de la tangente à la courbe d'équation  y = f(x) en un point d'abscisse  a , puis au point d'abscisse 0.

f(a) = 2x + 3 (?)
f'(a) = 2 (?) et je sais que y = f(a)+f′(a)(x-a)
Mais quelle est la valeur de a ? a =(a;f(a)) ?  ou (3;6) ? J'ai l'impression de tout mélanger...

J'ai mal nommé l'abscisse  a , car  a  est déjà pris pour un coefficient de l'expression de f(x).
Appelons-la  p .
Ecris donc l'équation de la tangente au point d'abscisse  p .

Je ne comprends pas à quoi p est attribué : p désigne le point d'abscisse 0 ?
Dans ce cas y = f(p)+f′(p)(x-p) avec p = (p ; f(p)) et f(p) = 2x + 3 ?

y = . . . . : c'est juste.
Remplace maintenant f(p) et f '(p) par leurs expressions, puis fais  p = 0 .

y = 2x + 3 + 2 * (x - p) ? Je ne comprends pas à quoi p est associé...

p  sert simplement dans une étape de calcul.
Voici toutes les étapes :
f(x) = ax² + bx + c
f(p) = . . .

f '(x) = . . .
f '(p) = . . .

Equation de la tangente à Cf au point d'abscisse  p :
y = (x - p)f '(p) + f(p)

Remplacement de f(p) et f '(p) par leurs expressions ci-dessus.

p = 0 ; équation de la tangente au point d'abscisse 0.

Comparaison de cette équation avec l'équation imposée  y = 2x + 3 .

Note que l'équation de la 2ème ligne de 18h34 était en fait erronée. Il fallait  6 = 9a + 3b + c .

Le problème c'est que je ne sais pas par quelle valeur remplacé p donc si je remplace f(x) par f(p) ça n'avance pas f(p): = px² + px + c
Je sais que f(x) = ax² + bx + c et f'(x) = 2ax + b mais je ne comprends pas le p...

f(p), ce n'est pas ce que tu as écrit là ; c'est  ap² + bp + c .
p , c'est une valeur d'abscisse quelconque, qu'on remplacera ensuite par 0.

Oui je viens de voir que j'ai inversé les x avec a et b. Dans ce cas :
f(x) = ax² + bx + c                           f'(x) = 2ax + b
f(p) = ap² + bp + c                          f'(p) = 2ap + b
Equation de la tangente à Cf au point d'abscisse  p :
y = (x - p)f '(p) + f(p)
En remplaçant, on obtient
y = (x - p) * (2ap + b) + ap² + bp + c
Equation de la tangente au point d'abscisse 0 p = 0
y = ((x - 0) * (2a*0 + b)) + (a*0)² + b*0 + c
y = x * (2a + b) + a² +b + c

Oui, mais  a*0 = 0 (et non pas  a !)

Equation de la tangente au point d'abscisse 0 p = 0
y = ((x - 0) * (2a*0 + b)) + (a*0)² + b*0 + c
y = x * (2a + b) +b + c
y = 2ax + bx + b + c
Comment comparer cette équation avec celle de l'énoncé y = 2x + 3 ?

Ton équation de l'avant-dernière ligne est incorrecte.

C'est y = x * (2a + b)  ?

Regarde la 2ème ligne de ton message de 17h01, qui est exacte.

y = x * (2a + b) +b + c      est juste ?
Ou je dois reprendre à      y = ((x - 0) * (2a*0 + b)) + (a*0)² + b*0 + c          ?

Ce n'est pas juste.
Oui, et supprime les termes qui sont nuls.

y = ((x - 0) * (2a*0 + b)) + (a*0)² + b*0 + c
x-0 = x  ?
2a*0 + b= b
(a*0)² = 2a
b*0 = 0
c = 0  ?
y = 2ax + b ?

(a*0)² = 2a  ???
Revois ton calcul.

(a*0)^2 = 0 donc  ((x - 0) * (2a*0 + b)) + (a*0)² + b*0 + c = b

L'équation s'écrit donc . . . .

b = ((x - 0) * (2a*0 + b)) + (a*0)² + b*0 + c

Combien de temps vas-tu traîner ces  0  ?

b = (x - p) * (2ap + b) + ap² + bp + c ?
Je ne comprends pas ce que vous voulez...

x - 0 = x
2a*0 + b = b
etc
Réécris donc l'équation de 11h28 (1ère ligne) SANS ZEROS.

y = b ?

y = xb pardon

y = (x - 0)*(2a*0 + b) + a*(0)² +b*0 + c

x - 0 = x
2a*0 + b = b
a*(0)² = 0
b*0 = 0

Je remplace :

y = x*b + c

Et voilà !

J'avais oublié le c... Est ce que cette équation donne la valeur de a, b ou c ?

Cette équation est celle de la tangente à la courbe d'équation  y = ax² + bx + c  au point d'abscisse 0.
Or l'équation de cette tangente doit, selon l'énoncé, être   y = 2x + 3 .
Que peux-tu en conclure ?

Pour  y = 2x + 3  a n'a pas de valeur, b = 2 et c = 3 ?
Ou pour y = x*b + c a n'a pas de valeur b = bx et c = c ?

b = 2 et c = 3 : oui.
Je te rappelle que les coefficients a, b et c doivent par ailleurs vérifier une égalité (cf 18h34 et 18h50).

Qu'est ce que je dois faire maintenant ? Trouver a ?

Oui.

b = ((x - 0) * (2a*0 + b)) + (a*0)² + b*0 + c  est la seule équation avec du ^2 mais il vaut 0 ?

Pour calculer  a , utilise l'indication que je t'ai donnée à 19h50.