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Exercice des suites.
Bonjour, je bloque sur la fin de mon exercice, est ce que quelqu'un pourrait m'éclairer un peu?
On a une suite (Un) définie par U0=0 et U(n+1)= Un + (1/Un)
et la suite auxiliaire (Vn) définie par Vn= (Un)²
J'ai du calculer V0=25 et démontrer que V(n+1)= 2+Vn+ (1/Vn) et ensuite démontrer que la suite (Vn) est croissante. Jusqu'ici auceun problème mais c'est la question suivante qui me pose problème, la voici :
Démontrer que Vn = 2n + 25 + 
k=0 n-1 (1/Vk) (désolé, je ne sais pas trop comment taper ça, je veux dire somme des termes (1/Vk) variant de k=0 à n-1)
Voilà donc je ne sais pas comment procéder, j'ai tenté le raisonnement par récurrence mais je n'y arrive pas.
Ensuite je dois déduire des questions précédentes que
25 + 2n 
Vn25 + (51n/25) et déterminer un encadrement de V1000 puis en déduire que 45 U1000 45,5
Je suppose que c'est U0 = 5 et pas ce que tu as écrit.
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Supposons que V(n) = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) (1) soit vrai pour une certaine valeur de n; on a alors:
V(n) = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k))
V(n) + (U(n+1))² = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) + (U(n+1))²
V(n) + (U(n+1))² - (U(n))² = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) + (U(n+1))² - (U(n))²
(U(n)) + (U(n+1))² - (U(n))² = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) + (U(n+1))² - (U(n))²
(U(n+1))² = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) + (U(n+1))² - (U(n))²
V(n+1) = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) + (U(n+1))² - (U(n))²
V(n+1) = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) + (U(n) + (1/U(n)))² - (U(n))²
V(n+1) = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) + (U(n))² + 2 + (1/U(n))² - (U(n))²
V(n+1) = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) + 2 + (1/U(n))²
V(n+1) = 2n + 2 + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) + (1/U(n))²
V(n+1) = 2(n + 1) + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) + (1/U(n))²
V(n+1) = 2(n + 1) + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) + (1/V(n))
V(n+1) = 2(n + 1) + 25 + S(k=0 --> n) (1/V(k))
V(n+1) = 2(n + 1) + 25 + S(k=0 --> (n+1)-1) (1/V(k))
Et ceci est l'expression (1) dans laquelle on a remplacé n par (n+1)
Donc si V(n) = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) est vrai au rang n, c'est encore vrai au rang (n+1) (2)
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Pour n = 1, on a:
V(1) = 2+V(0)+ (1/V(0)) = 2 + 25 + (1/25) = 27 + (1/25)
et 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) 1/V(k) = 2 + 25 + S(k=0 --> 0) 1/V(k)
= 27 + (1/V(0))
= 27 + (1/25)
Donc V(n) = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) est vrai pour n = 1.
Comme V(n) = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) est vrai pour n = 1, par (2), c'est aussi vrai pour n = 2.
Comme V(n) = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) est vrai pour n = 2, par (2), c'est aussi vrai pour n = 3.
Comme V(n) = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) est vrai pour n = 3, par (2), c'est aussi vrai pour n = 4.
Et ainsi de proche en proche, V(n) = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k)) est vrai pour tout n de N*
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V(n) = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k))
Et comme V(k) > 0 (puisque = (U(k))²)
On a : V(n) >= 2n + 25
2n+25 <= V(n) (3)
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V(n) = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k))
Comme tous les U(n) > 1 et que la suite Un est croissante, la suite Un est aussi croissante et tous les V(n) sont >= V(0)
--> tous les V(n) >= 25
--> 1/v(n) <= 1/25
Tous les 1/v(k) <= 1/25
V(n) = 2n + 25 + S(k=0 --> n-1) (1/V(k))
V(n) <= 2n + 25 + n.(1/25)
V(n) <= 25 + 2n + n.(1/25)
V(n) <= 25 + n.(51/25) (4)
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(3) et (4) -->
2n+25 <= V(n) <= 25 + (51n/25)
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2*1000+25 <= V(1000) <= 25 + (51000/25)
2025 <= V(1000) <= 2065
2025 <= (U(1000))² <= 2065
45 <= U(1000) <= 45,44...
45 <= U(1000) <= 45,5
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Sauf distraction. 
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