l'énoncé :
L'objectif est de démontrer que, pour tout réel x positif, on a 1+(x/2)-(x²/8)≤√(x+1)≤1+(x/2)-(x²/8)+(x^3/16). Soient f, g et h les fonctions définies sur [0; +∞[ respectivement par f(x)=√(x+1), g(x)=f(x)-1-(x/2)+(x²/8) et h(x)=g(x)-(x^3/16)
Dans l'exercice, on admettra la dérivabilité des fonctions f, g et h et de leurs dérivées successives sur [0; +∞[.

1) a) Calculer f'''(x) puis démontrer que pour tout x≥0, g'''(x)=3/[8(x+1)²(√(x+1))]. Déterminer alors les variations de g" sur [0; +∞[

b) Calculer g''(0) et déterminer le signe de g'(x ) puis les variations de g' et enfin le signe
de g(x) sur [0; +∞[


Ce que j'ai fait:
f'(x)= 1/2√x+1
f''(x)=- 1/4  x  1/(x+1)√x+1
pour la f'''(x) le prof m'a dit que je dois arriver a 3/8(x+1)au carre√x+1 soit 3/8 x 1/ (x+1) au carre √x+1.  Mais je n'arrive pas ( est-ce que vous pouvez m'aider svp?

je sais que f'''(x)= 1/v = -v'/v au carre
comme v=(x+1)√x+1
v'=u'v+uv'    ( je vais ecrire fois comme . pour ne pas confondre avec le x)
v'=1.√x+1  +  (x+1). 1/2√x+1  
v'=√x+1  +  (x+1)/2√x+1
v'= (√x+1. 2√x+1 + x+1)/2√x+1
v'=2x+1+x+1/2√x+1
v'=3x+1 / 2√x+1
mais avec ce resultat quand je fais la derrive -v'/v au carre je n'arrive pas au bon resultat, qui doit etre 3/8(x+1)au carre√x+1