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Exercice difficile sur la récurrence..
J'ai un exercice a faire pour mercredi et je n'arrive pas. Sauf le 1) qui est relativement facile. Merci de m'aider.
On considère les polynômes Pn de la variable réelle x, tel que :
P[/sub]0(x) = 2 ; p[sub]1(x) = x + 1/2
et pour tout entier n supérieur a 1 : P[/sub]n(x)- (x+1/2)P[sub]n-2(x) = 0.
1) Former P[/sub]2(x), P[sub]3(x) et P[/sub]4(x).
2) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier n, le polynôme P[sub]n est de degré n, et donner l'expression de son terme de plus haut degré.
3) On suppose : -1
x0, et on pose : x = - cos[/sup]2 
.
Etablir que pour tout entier n :
P[sub][/sub]n(-cos[sup]2 ) = (-1)[/sup]n (1/(2[sup]2n-1)cos(2n).
En déduire l'expression de cos(6) et de cos(8) en fonction de cos ().
j'ai fait quelques erreurs. Je vous prie de m'excuser.
.....et pour tout entier n supérieur a 1 : Pn(x) - (x+1/2)Pn-1(x) + 1/16 Pn-2(x) = 0...
et a chaque fois c'est cos au carré et non pas cos2.
Merci et demander moi si vous n'avez pas bien compris.
2) On te dit de raisonner par récurrence.
Vérifie que P0 est de degré 0 et que P1 est de degré 1(facile)
Suppose que Pn-1 et Pn-2 sont de degré respectif n-1 et n-2 et démontre que Pn est de degré n.
Pour le terme de plus haut degré, cela ne devrait pas poser de problème.
3) Là encore tu peux raisonner par récurrence.
A toi de jouer...
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