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Exercice DM congruence modulo 10
Bonjour,
L'énoncé de l'exercice est :
"Déterminer le chiffre des unités de 7^7^7"
J'ai du mal a démontrer que le chiffre des unités est 3 (si ce resultat est exact)
Il faut, d'apres le professeur, montrer qu'il existe une récurrence dans les restes, et les exposant s'écrieraient alors sous la forme 4n, 4n+1, 4n+2 ou 4n+3.
Merci d'avance pour votre aide.
Je crois que ce n'est malheureusement pas si simple.
En effet, la priorité est aux exposants c'est a dire que 7^7^7 s'écrit aussi 7^(7^7)
Il faudrait alors mettre
7
-3 mod 10
7^7(-3)^7-73 mod 10
Soit 7^7^77^33 mod 10
Mais je ne suis pas sur de pouvoir mettre une congruence de 7^7 en exposant...
Pourrais tu m'éclaircir la dessus?
Le professeur nous a clairement expliqué que 7^7^7 n'était pas égal a (7^7)^7, qui serait lui egal a 7^49, mais bien a 7^(7^7).
De plus, ma calculatrice me le confirme.
J'ai compris ce que tu cherches, mais avec les parenthèses c'est mieux.
7^7 = 3n + 1 (avec n = 274514)
(7)7^7 73n+1 21n * 7 1n * 7 7 [10]
...
Le professeur avait suggéré de faire en fonction de différents cas
On aurait alors alors :
7^1^17^17 mod 10 qui est de la forme 7^4n+1
7^2^2(-3)^41 mod 10 qui est de la forme 7^4n+2
7^3^3(-3)^273 mod 10 qui est de la forme 7^4n+3
7^4^4(-3)^2561 mod 10 qui est de la forme 7^4n
De plus, 7^7^7 est de la forme 7^4n+3
Ce qui indiquerait que le chiffre des unités soit 3
sorry. ce que j'ai dit avant est faux.
c'est vrai, 7^7^7 est de la forme 7^4n+3 .. d'où
7^7^7 7^4n+3 2401n * 73 1n * 3 3 [10]
... ce qui permet de conclure : 3 est le chiffre des unités
...
Ca c'est facile.
tout Nombre N dans la division par n a pour reste 0, 1 , 2 , 3, ..., n-1
tout Nombre N dans la division par 4 a pour reste 0, 1 , 2 , 3
donc tout nombre s'écrit, dans la division euclidienne par 4 :
N = 4n
ou N = 4n + 1
ou N = 4n + 2
ou N = 4n + 3
...
En fait il suffirait de démontrer rigoureusement que 7^7^7 est de la forme 7^4n+3
on décomposerait ensuite en disant que
74n+3=(74)n*73
Or, 733 mod 10
Et 741 mod 10
Donc (74)n3 mod 10
Et 74n+3=(74)n*733 mod 10
tu veux simplement trouver 7^7^7 ou bien 7^n^n ?
si on veut montrer qu'il y a une récurrence des restes sur 7^n^n [10]
il faut montrer qu'il y a une récurrence des restes sur n^n [4]
établis donc que n^n (n+4)^(n+4) [4]
...
établir rigoureusement que 7^7^7 est de la forme 7^4n+3, c'est que j'ai fait en démo précédente.
C'est asez facile, car on peut calculer à la machine 7^7
mais s'il s'agissait de 7^23^23 par exemple, on en passe bien par
établir la récurrence sur les restes de 7^n^n.
...
Eh bien je crois que je vais faire comme tu m'as expliqué plus haut pour montrer que 7^7^7=74n+3
Merci beaucoup et bonne soirée a toi pgeod et bravo 
cela dit établir que n^n (n+4)^(n+4) [4]
c'est pas très compliqué..
tu redemandes si besoin est...
...
n n+4 [4] donc n^n (n+4)^n [4]
ensuite (n+4)^4 n^4 [4]
si n 0 [4] => n^4 0 [4]
si n 1 [4] => n^4 1 [4]
si n 2 [4] => n^4 0 [4]
si n 3 [4] => n^4 1 [4]
donc dans les cas n 1 [4] et n 3 [4]
n^n (n+4)^n [4]
1 (n+4)^4 [4]
......... on multiplie membre à membre
n^n (n+4)^(n+4) [4]
restent les cas n 0 [4] et n 2 [4]
ce sont les entiers pairs...
...
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