Niveau terminale

Exercice équation a deux inconnues

Posté par
Pomafan 13-10-11 à 00:23

Bonjour a tous,

J'ai un DM en spé a rendre dans quelques jours, et je butte sur une question:

Soit l'equation (E) 3x²-7y²=4 dont les inconnues x et y sont des entiers relatifs.

1) On suppose que le couple d'entier naturels (x,y) vérifie l'equation (E)

Démontrer que y² congru a 2 (mod 3)

Comment faire? Je pensais que c'etait esquivant a y²=3k+2 (avec k entier naturel) mais je vois pas comment y arriver... Help please!

Posté par re : Exercice équation a deux inconnues 13-10-11 à 00:30

bjr
$3x^2-7y^2=4$
$7y^2+4=3x^2$
passons au gonguence
$7y^2$ congru $-4(3)$

$y^2$ congu $-4+6(3)$
$y^2$ congru $2(3)$

Posté par re : Exercice équation a deux inconnues 13-10-11 à 07:39

Merci beaucoup pour votre réponse mais pouvez vous détaillez avec justifications les congruences car je ne comprends pas le passage entre les digérantes étapes.

Merci d'avance.

Posté par re : Exercice équation a deux inconnues 13-10-11 à 09:21

bjr ; ok mon frère Pomafan
$3x^2-7y^2=4$
$7y^2+4=3x^2$
ce qui veux dire que $7y^2+4$ est multiple de $3x^2$ ; et du langage congruence
$7y^2+4$ $0[3]$
$y^2+4$ $0[3]$
$y^2$ $-4[3]$
$y^2$ $-4+6[3]$ , (+6 ne change rien ; parmi les propriétés du congruence )
$y^2$ $2[3]$
ce qui est demandé à démontrer ;

Posté par re : Exercice équation a deux inconnues 13-10-11 à 17:36

merci bien.

Posté par re : Exercice équation a deux inconnues 13-10-11 à 18:15

je reviens sur deux petit detail, je ne comprends pas le passage de la ligne 7y²+4 congru 0[3] et la ligne y²+4 congru 0[3] , comment peut ton passer de 7y² à y²?

puis je ne comprends pas non plus le passage avec la ligne suivant qui fait passer 4 à -4 de l'autre coté?

Posté par re : Exercice équation a deux inconnues 13-10-11 à 21:46

bjr,
alors
$7y^2 =6y^2+y^2$
le $6y^2$ 0[3] donc on peux le negliger (propriété de la congruence ce qui nous donne $y^2$ seulement
pour le +4 et le -4 , c'est comme l'egalité si on change un terme du coté vers l'autre on doit changé son soigne
tu peux aussi te servir de la propriété suivante
si on arrive à;
$y^2+4$ [3]
on ajoute 2 dans chaque coté
$y^2+2+4$ 2[3]
$y^2+6$ 2[3] le 6=2x3 il saute
$y^2$ 2[3]

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