Salut pour la 1) si g est solution de (E) alors:

g´(x)+g(x)=2(x+1)e^-x

il faut que tu dérives g(x) en fonction de a et b puis substituer sur l´expression précédente

tu trouveras les solutions de a et b par identification des termes..

Bonjour

1) Tu dérives g, tu écris que et tu identifies a et b.

2) Tu as surement la formule dans ton cours!

3) Tu écris... que f et g sont solutions de (E) et tu fais la différence!

J'ai g'(x)=(2ax+b)e^-x+(ax²+bx)(-e^-x)
C'est juste?
Pour déterminer a et b je n'ai pas compris comment faire...

Oui c´est juste. Tu regroupes:

g´(x)=[-ax²+(2a-b)x +b]e^-x

et tu identifies avec: (2x+2)e^-x

Pourquoi avec 2x+2e^-x ?

Excuses moi c´est faux ton résultat est celui de g´(x) mais il faut que tu substitues g´(x)+g(x)

ce qui fait après dévellopper et réduire: [2ax+b]e^-x=(2x+2)e^-x

c'est 2(x+1)e^-x en forme développé non?

2(x+1)e^-x=(2x+2)e^-x

c´est la partie droite de l´équation de ton ennoncé...

je dois avouer que je suis un peu perdu. :s
Donc déjà j'ai refait ma dérivée de g(x) et j'obtiens exactement le meme résultat. La dérivée est bien de la forme (uv)=u'v+uv'?

ta dérivée est correcte mais il faut substituer sur l´équation (E) don g´(x)+g(x)=2(x+1)e^-x

Il y a g(x) à substituer aussi puisque g est solution de (E), regardes l´équation

J'obtiens en substituant:
(2ax+b)e^-x+(ax²+bx)(-e^-x)+(ax²+bx)e^-x=2(x+1)e^-x
Je poursuis comment? en mettant e^-x en facteur?

En factorisant par e^-x j'obtiens: (2ax+b)e^-x=2(x+1)e^-x
Donc a=1 et b=2. C'est ça?

Oui mais regardes bien: qq chose multipliée par e^-x + qq chose multipliée par -e^-x

ne s´annulle pas..?

j'ai mis que (ax²+b)(-e^-x)=(-ax²-bx)e^-x
et donc ax²+bx-ax²-bx=0

exact donc finalement tu arrives à:

(2ax+b)e^-x=2(x+1)e^-x non?

identifiant les termes.. 2a=2 , b=2..

Donc a=1 et b=2

Donc (x²+2x)e^-x est solution de (E)

Pour le 2°) y'+y=0
donc y'=-y on a a=-1 les solution sont de la forme f(x)=Ce^-x avec C appartient à R

Correct.

Pour la 3) Commences par supposer que f(x)-g(x) est solution de (E´)

soit: (f-g)´ +(f-g)=0 , tu dérives tu substitues par l´expression de g trouvée au 1) et tu dois arriver

à:  f´(x)+f(x)=2(x+1)e^-x donc tu prouveras que f est solution de (E) ssi (f-g) est solution

de (E´)

C'est bon j'ai réussi et compris cette question.
Pour la dernière il faut procéder comment?

Tu as trouvé que les solutions de (E´) sont de la forme:

y(x)=K*e^-x (K)

or, f-g est solution de (E´) soit: Ke^-x= f(x)-(x²+2x)e^-x

d´après 3) si f-g est solution de (E´) alors: f est solution de (E)

donc: f(x)=Ke^-x+g(x)=Ke^-x+(x²+2x)e^-x

Tout simplement? Je cherche toujours à faire trop compliqué

Merci beauocup d'avoir pris le temps de m'expliquer et de m'aider. J'ai compris c'est l'essentiel

Avec la pratique tu verras les choses simplifiéés.

J'imagine, c'est pas si compliqué que ça il faut juste en effet de la pratique pour que le logique s'installe et le mécanisme.

J'ai un autre exercice que je ne parviens pas trop à réussir mais c'est sur les complexes, donc si vous avez le tps voici l'adresse https://www.ilemaths.net/sujet-nombres-complexes-dm-472188.html