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Exercice exponentiel

Posté par
AsPiraTeuRe 29-10-15 à 13:50

Bonjour,


Je vais pas vous le cacher, c'est exercice est mon devoir maison de maths. Mais il est seulement apprécié et il nous nous aider ( en tant qu'élève ) pour le futur contrôle.

Je n'ai vraiment rien compris sur ce dm. Pouvez-vous m'aider et le donner quelques clés pour le réussir. Je mettrais toutes questions ou tous problèmes en rouge. Merci d'avance =)


Voici l'énoncé:

1. Un encadrement de e

Soit n un entier naturel, n2, et les fonctions f et g définies sur [0;1] par:

f(x)=e^{-x}(1+\frac{x}{1!}+\frac{x²}{2!}+...+\frac{n^x}{n!}) et g(x)=f(x)+e^{-x}\frac{x^n}{n!}

(rappel: k!=1x2x3x...xk pour k*).

a. Déterminer le sens de variation de f et de g et en déduire que f(1)<1 et que g(1)>1.
b. En déduire l'encadrement (1) de e:
1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}<e<(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!})+\frac{1}{n!}

2.Algorithme

a. Ecrire un algorithme qui demande n et envoie l'encadrement (1) de e obtenue pour cette valeur de n.
b. Le programmer et le faire tourner pour n=6

3. Irrationalité de e

Supposons qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que e=\frac{p}{q} (q2)
a. Montrer que q!e est alors un entier.
b. Justifier que si k est un entier tel que 1kq, alors \frac{q!}{k!} est un entier.
c. Ecrire l'encadrement (1) pour n=q puis le multiplier par q!
Déduire de la question b. que q!e est strictement compris entre deux entiers consécutifs.
d. Que peut-on en conclure ?


Une aide :

Question 1 : on pourra d'abord justifier que pour tout entier n non nul, la fonction dérivée de x I-----> \frac{x^n}{n!} est x I----->\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}.
La question 3 est un exemple de raisonnement par l'absurde.


Voici ce que j'ai fais:

J'ai rien fait ... Car je ne comprends pas ce ! sur les chiffres x).Pouvez-vous m'expliquer ce que cela signifie car malgré le rappel, ça ne me parle pas

1. Pour la question 1.a Dois-je faire la dérivée puis le tableau d'avancement pour chacune fonction? Si c'est cela, comment dois-je dérivé, pour f(x)=(1+\frac{x}{1!}+\frac{x²}{2!}+...+\frac{n^x}{n!}) ?

Pour le reste je ne me suis pas encore penché dessus mais vous pouvez mettre quelques aides si vous voulez. Ou nous y ferrons après avoir fini la premier question.



Je sais que ce travail est long et je mettrais chaque réponse rédigé et bien détaller avec les calcules sous forme de latex pour que cela soit beaucoup plus compréhensible pour vous.



Je vous remercie d'avance =)

AsPiraTeuRe (Inspiration garanti avec ce pseudo)

Posté par
sanantonio312re : Exercice exponentiel 29-10-15 à 13:59

1!=1
2!=1×2=2
3!=1×2×3=6
4!=1×2×3×4=24
5!=120
6!=720...
Ensuite, derive f et g et étudie leur signe.

Posté par
AsPiraTeuRere : Exercice exponentiel 29-10-15 à 14:15

D'accord. Pour dériver  (1+\frac{x}{1!}+\frac{x²}{2!}+...+\frac{n^x}{n!})? Je prend toute la parenthèse ou seulement \frac{n^x}{n!} ?

Posté par
AsPiraTeuRere : Exercice exponentiel 29-10-15 à 17:09

1.a)


C'est de la forme u.v avec u=e^{-x} et u'=-xe^{-x}   v=\frac{x^n}{n!} et v'=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}

Donc
f'(x)=(-xe^{-x})(\frac{x^n}{n!}) +e^{-x}(\frac{x^{n-1}}{(n-1)!})
f'(x)=\frac{-xe^{-x}(x^n)}{n!}+\frac{(e^{-x}(x^{n-1})}{(n-1)!}
f'(x)=\frac{-xe^{-x}(x^n)(n-1)!+e^{-x}(x^{n-1})(n!)}{n!(n-1)!}

A partir de la, je recherche les signes de -xe^{-x}(x^n)(n-1)!    e^{-x}(x^{n-1})(n!)        n!(n-1)!

Donc
-xe^{-x}(x^n)(n-1)!<0
e^{-x}(x^{n-1})(n!)>0
n!(n-1)!>0
Donc f'(x) est négative et la fonction f(x) est décroissante sur [0;1]

Es-ce juste?

Posté par
sanantonio312re : Exercice exponentiel 29-10-15 à 17:26

Il faut bien sûr deriver toute la parenthese.
attention: Si u=e-x Alors u'=-e-x

Posté par
AsPiraTeuRere : Exercice exponentiel 29-10-15 à 17:59

Mais je dérive 1+\frac{x}{n!}   ou   (1+\frac{x}{1!}.....+\frac{x^n}{n!})

Posté par
sanantonio312re : Exercice exponentiel 29-10-15 à 19:55

Pourquoi ne veux-tu pas dériver toute la parenthèse?

Posté par
AsPiraTeuRere : Exercice exponentiel 30-10-15 à 15:08

Bonjour,

Donc
v=1+\frac{x}{1!}+\frac{x²}{2!}+...+\frac{x^n}{n}
v'=\frac{1*1-x*0}{1}+\frac{2x*2-x²*0}{4}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}
v'=1+x+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}


Soit:
f'(x)=-e^{-x}(1+\frac{x}{1}+\frac{x²}{2}+...+\frac{x^n}{n})+e^{-x}(1+x+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!})
f'(x)=-e^{-x}(1+\frac{x}{1}+\frac{x²}{2}+...+\frac{x^n}{n})+e^{-x}+xe^{-x}+\frac{e^{-x}(x^{n-1)}}{(n-1)!}
f'(x)=-e^{-x}(\frac{2+2x+x²}{2}+...+\frac{x^n}{n})+e^{-x}+xe^{-x}+\frac{e^{-x}(x^{n-1})}{(n-1)!}

Par contre je peux connaitre facilement le signe de f'(x)=-e^{-x}(\frac{2+2x+x²}{2}+...+\frac{x^n}{n}). En revanche, j'hésite de m'arrêter la pour e^{-x}+xe^{-x}+\frac{e^{-x}(x^{n-1})}{(n-1)!} car j'arrive pas à finir d'y factoriser puis je pense pouvoir trouver le signe facilement car :

e^{-x} est positif comme xe^{-x}. Pour \frac{e^{-x}(x^{n-1})}{(n-1)!}      e^{-x} est positif comme x^{n-1} car n2 et (n-1)! est aussi positif ?

Es-ce juste ou non ?

Posté par
sanantonio312re : Exercice exponentiel 30-10-15 à 15:38

Quand tu ecris:

Soit:
f'(x)=.....
Tu oublies les ..... dans la deuxième parenthèse.
Y'a presque tout qui va disparaître.

Posté par
AsPiraTeuRere : Exercice exponentiel 30-10-15 à 16:22

Je comprends pas Dans la deuxième parenthèse il y a quoi alors ?

Posté par
sanantonio312re : Exercice exponentiel 30-10-15 à 17:29

Tout ce que tu as imaginé quand tu as mis des ... dans ta dernière ligne de calcul de v'.

Posté par
AsPiraTeuRere : Exercice exponentiel 30-10-15 à 18:25

D'accord.
Pour l'algorithme, j'ai une petite idée de l'approche.

Variable:

n est un entier naturel
n2
x est un entier

Debut algorithme :

soit f(x)=
et g(x)=

J'ai un petit doute de comment définir e


Soit e un entier définie par

f'(x)< e < g'(x)

ou par l'encadrement du 1.b.

Choisir la valeur de n

afficher n

Fin algorithme


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