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Exercice extension de corps(1)
Bonjour tout le monde, voilà un exercice que je n'arrive pas à faire,
Soit le corps à 2 éléments
1)Prouver que les polynomes
et
sont irréductibles sur .
2)On pose
Vérifier que K et L sont des corps finis dont on précisera le cardinal.
Sont-ils isomorphes?
3)Soit respectivement, f et g les surjections canoniques de sur K et L
On pose et
Montrer que a engendre le groupe cyclique K* mais que b n'engendre pas le groupe cyclique L*
Trouver en fonction de b un générateur c du groupe L* et en déduire un isomorphisme h de K dans L tel que
pour 1) ok
pour 2)il est clair que K et L sont des corps,
ils sont finis par p et q sont irréductibles sur et on a dont deux corps de cardinal 4
ils sont isomorphes car ce sont tout deux des corps finis de meme cardinaux.
3)je ne sais pas comment faire... alors si quelqu'un connait la méthode...
Merci d'avance de votre aide
En fait le groupe cyclique K* va etre un groupe de cardinal 3 donc isomorphe à F3 en tant qu'espace vectoriel mais bon,j'en sais pas plus, comment montrer que a l'engendre?
Faut-il le déterminer explicitement?
Euh je me suis planté
pour 2), le cardinal c'est 16
je ne sais toujours pas comment on fait la suite.
l'ordre d'un element divise l'ordre du groupe donc il suffit de vérifier si l'ordre de a est 3 ou 5, si la réponse est non, t'as gagné. Idem pour b.
Salut,
C'est lagrange ça!!
Comment veux tu que je vérifie cela?
comme vérifier que l'ordre de a est 3 ou 5 (d'ailleurs pourquoi ces deux nombres premiers)
(Désolé, pas dit bonjour tout à l'heure)
Bonjour,
tu veux montrer que a engendre K* or card(K*)=15=3x5 donc il te suffit de calculer a^3 et a^5.
Ok!
mais a^3=(f(X))^3
et ça on ne peut pas le faire??
si??
puisque f associe à X, a.
je tourne en rond?!
J'ai compris ton probleme, en fait tu considere a comme a = X +(p(X))
ou encore a = c(X), la classe de X modulo (p(x)),
on a: a^3=c(x^3) qui est différent de 1,
a^5=c(x^5)=(x^4+x+1)*x + x²+x = x²+x qui est différent de 1
donc o(a)=15
tu fais pareil pour l'autre et certainement que b^5=1.
Euhh j'ai pas tout saisi:
>pourquoi c(x^3) est différent de 1 ?
a^5=c(x^5) ok mais aprés je comprend pas!
o(a)=ordre de a?? c'est 15 ??
j'avoue je suis perdu!
non c'est moi qui doit expliquer tres mal,
le 1 de K est c(1)=1+(p(x))
donc la classe de tout polynome de Fq[X] different de 1 et de degré < 4 est différente de c(1)
ensuite, tu fais la division euclidienne de X^5 par p(X),
tu obtiens X^5 = p(X)*X + X^2 + X
tu passes au classe, tu as a^5 = c(X^5) = c(p(X))*c(X) + c(X^2+X)
et comme c(p(X))=0, on a c(X^5) = c(X^2+X) qui est different de 1
donc a est un element different 1 tq a^5 et a^3 sont different de 1,
a est d'ordre 15
je suis d'acord avec tout ce que tu as fait alors, sauf ceci:
donc la classe de tout polynome de Fq[X] different de 1 et de degré < 4 est différente de c(1)
je comprend pa cette phrase.
Sinon ok on fait le division euclidienne,on trouve que a^3 et a^5 sont différent de de la classe de 1 dans K,donc a est finalement d'ordre 15 et engendre donc K*
pour b:
je considere b comme X+q(X):
b^3=X^3
et b^5=X^5=(X^4+X^3+X^2+X+1)(X-1)+1
donc cl(b^5)=cl(1)
d'ou o(b)=5 n'engendre pas L*.
une idée pour la suite??
faut trouver un générateur de L* en fonction de b...
Merci déjà de ton aide!
j'arrive pas à me suivre moi-meme!!
entre extension de corps,extension algébrique,extension finie,corps finis,corps de décomposition,de rupture, cloture algébrique,corps algébriquement clos...
Bref c'est tout encore trop pas bien clair!
pour ce que tu n'as pas compris, je dis juste que si deg(Q)<4
alors Q=0*p(X)+Q et donc c(Q)=c(1) ssi Q=1
pour le reste, je vois pas d'astuce alors essaie peut-etre b+1
Arf!
b+1 c'est corsé,je me suis tapé l truc puissance 5...
et à l'arrivée je trouve cl(X^3+X^2-1) qui est différent de cl(1)
donc je pense pas que ça marche
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