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Exercice fonction exponentielle (évolution d'une population)

Posté par
Helldamn
03-01-18 à 19:55

Bonjour/Bonsoir

Donc voilà, j'ai un petit exercice concernant les fonctions exponentielles mais je suis un peu perdu donc j'aimerais un peu d'aide pour me mettre sur le bon chemin !
Voici l'énoncé :
"On a représenté avec un tableur l'évolution de la population en Afrique en 1950 et 2010

Année1950196019701980199020002010
Nombre d'habitants en millions2292853664786308081031

(Il y a également un graphique représentant le tableau)

1. On souhaite modéliser lévolution de cette population par une fonction du type : f(t) = ke𝛌(t- 1950)
a. En utilisant la valeur de la population en 1950, déterminer la valeur de k (* ici il y a marqué "méthode 2" d'ailleurs, mais cette méthode n'apparaît pas sur la feuille...)
b. En utilisant la valeur de la population en 2010, déterminer la valeur de 𝛌.
c. A l'aide d'un tableur, représenter sur un même graphique la fonction f et l'évolution de la population en Afrique entre 1950 et 2010.  Que peut-on penser de ce modèle ?

2. Selon ce modèle, donner une estimation de la population en Afrique en 1968 et en 2016.

3. Déterminer une relation entre la fonction f et sa dérivée f'.

4. Déterminer la limite de la fonction f en +. Que peut-on penser de l'évolution de ce modèle à long terme ?"

Ce que j'ai fait :
Et bien, pas grand chose
1.a. Et bien là je remplace t par 1950 ce qui me donne f(1950) = ke 𝛌(1950-1950), 1950-1950 donne zéro donc nous avons ke0 donc f(1950) = k * 1 mais je ne vois pas vraiment ce que je peux faire de plus...
1.b. Et bien là je bloque, je remplace également ce qui donne : f(2010) = ke 𝛌(2010 - 1950, or dans ce cas-là comment arriver à un terme où je peux clairement identifier  𝛌 ? (Sachant que même en remplaçant k par la "réponse" que j'ai trouvé, cela ne me mène à rien..).
J'avais effectué quelques recherches mais sur la plupart des exercices y ressemblant, la fonction logarithme était utilisée mais nous ne l'avons toujours pas fait en classe.

Merci d'avance pour l'aide en espérant comprendre, passez une bonne journée !  

Posté par
Yzz
re : Exercice fonction exponentielle (évolution d'une population 03-01-18 à 20:03

Salut,

Tu trouves f(1950) = k , et tu sais que f(1950) = 229

Posté par
Helldamn
re : Exercice fonction exponentielle (évolution d'une population 03-01-18 à 21:28

Yzz @ 03-01-2018 à 20:03

Salut,

Tu trouves f(1950) = k , et tu sais que f(1950) = 229


Salut,

Oh mon dieu j'ai vraiment la tête en l'air...

Donc pour la question 2 idem j'ai remplacé f(2010) par 1031 et j'ai trouvé mais cela me gêne étant donné que j'ai pris une petite heure pour regarder le cours et faire 1-2 exercice sur le logarithme népérien... que l'on a jamais fait.
J'en suis arrivé à 0.02507 (j'ai arrondi) et l'équation fonctionne et j'arrive à retrouver approximativement les résultats mais ça me gêne d'utiliser cela.
N'auriez-vous pas une solution avec une autre méthode ?

Posté par
Yzz
re : Exercice fonction exponentielle (évolution d'une population 03-01-18 à 22:39

Félicitations pour avoir cherché à comprendre la fonction ln tout seul !  
Il n'y a pas d'autre méthode qui donnerait le résultat exact...
Mais sans avoir toutes les notions sur la fonction ln, tu peux te servir de la propriété :

Si k > 0 , alors ex = k équivaut à x = ln(k)

Posté par
Helldamn
re : Exercice fonction exponentielle (évolution d'une population 04-01-18 à 12:21

D'accord d'accord, je vais donc partir sur cette voie-là

En revanche je trouve la question 1.c. un peu floue, je veux dire, je ne sais pas trop quoi en penser à part que la courbe provenant de la fonction permet de mieux apercevoir l'évolution de la population, qu'elle a l'allure typique d'une fonction exponentielle et... bien je ne sais pas trop quoi dire de plus :/

Pour la 2. Et bien je fais f(1968) et f(2016) ce qui me donne respectivement 359.365  et 1198.4 (en millions forcément).

Pour la 3. Pour celle-ci je pense que je peux utiliser la propriété qui dit que la dérivée d'une fonction exponentielle est elle-même du coup et bien f' = f ?

Pour la 4. Et bien rien qu'intuitivement elle tend vers l'infini vu que le terme t augmente donc (t - 1950) aussi. De plus lim(ex) quand x tend vers l'infini = + donc par extension c'est le cas ici aussi.
Cependant pareil je ne vois pas trop ce que l'on peut en penser hormis le fait que la population augmente de plus en plus vite au fil du temps (propriété de la fonction exponentielle)

Posté par
Helldamn
re : Exercice fonction exponentielle (évolution d'une population 06-01-18 à 16:17

Je me permets de up le topic étant donné que je n'ai pas pu réellement avancer dans l'interprétation de ces résultats donc j'aimerais avoir l'avis de certains à ce sujet

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