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Niveau terminale
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Exercice fonction f avec x et n inconnu

Posté par
tetraedre1
16-09-17 à 14:28

Bonjour,

Je viens créer un nouveau topic suite à cet exercice dont je bloque depuis plusieurs heures, voici l'énoncé de

cette exercice :

Soit n un entier naturel avec n supérieur ou égale à 2, on pose :

\[f(x) = \frac{1+x^{n}}{(1+x)^{n}}\]   sur [0;+∞[

1) a) Calculer f'(x)

   b) Etudier le signe de f'(x)

2) a) Montrer que f admet un minimum sur [0;+∞[ que l'on précisera

   b) En déduire que pour tout x strictement supérieur à 0 :

\[(1+x)^{n} \leq 2^{n-1}*(1+x)^{n}\]

3) Montrer que pour tout réel x et y positif, on a :

\[(x+y)^{n} \leq 2^{n-1}*(x^{n}+y^{n})\]

--------------------------------------------------------------------

J'ai déjà essayé le 1) a) en dérivant la fonction de type u/v et j'ai obtenu ceci  :

\[f'(x) = \frac { (nx^{n-1})*(1+x)^{n} - (1+x^{n})*(n(1+x)^{n-1}) } { (1+x)^{2n} } \]

Je ne sais pas si cela est juste, et si c'est le cas, je suis bloqué pour répondre à la b), comment dresser un tableau de signe avec x et n en inconnu ?

Je vous prie de bien vouloir m'aider à résoudre cet exercice et vous remercie d'avance pour votre quelconque aide,

Cordialement,

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice fonction f avec x et n inconnu 16-09-17 à 14:30

factorise ton numérateur !

Posté par
tetraedre1
re : Exercice fonction f avec x et n inconnu 16-09-17 à 16:17

Bonjour,

Merci d'avoir répondu, j'ai factoriser l'expression et cela me donne ceci :

\[ \frac{-n^{n}(x+1)^{n-1} - n(x+1)^{n-1} + nx^{n-1}(x+1)^{n} } {n(x+1)^{2} } \]

Je ne vois pas comment simplifier encore plus, et je ne vois toujours pas comment dressé un tableau de signe avec une tel expression.

Je vous remercie de votre aide,

Cordialement,

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice fonction f avec x et n inconnu 16-09-17 à 16:19

ça veut dire quoi "factoriser" pour toi ??
tu n'as pas du tout factoriser
repère un facteur commun

Posté par
tetraedre1
re : Exercice fonction f avec x et n inconnu 16-09-17 à 18:47

Ah oui merci je suis bête, je n'avais pas vu le facteur commun n, en faite je cherchais evidemment là ou il ne fallait pas, donc si j'ai bien compris (et je l'espère) alors si je factorise, cela donne cela ? :

\mathbf{n \;  \left(-x^{n} \;  \left(x + 1 \right)^{n - 1} -  \left(x + 1 \right)^{n - 1} + x^{n - 1} \;  \left(x + 1 \right)^{n} \right)}

Merci de votre aide,

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice fonction f avec x et n inconnu 17-09-17 à 10:09

et surtout (x+1)^{n-1}.....à mettre en facteur

Posté par
tetraedre1
re : Exercice fonction f avec x et n inconnu 17-09-17 à 12:20

Oui je viens de comprendre, ensuite il suffira d'utiliser la résolution avec l'un des facteurs est nul pour f'(x)=0. Merci de ton aide.

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice fonction f avec x et n inconnu 17-09-17 à 12:24

oui !

Posté par
tetraedre1
re : Exercice fonction f avec x et n inconnu 17-09-17 à 12:46

Merci beaucoup pour votre aide, j'étais vraiment désespéré même si cet exercice n'est pas un DM, il faut que je m'habitude à des exercices de ce genre car après la Terminale, on aura beaucoup d'exercices de recherche comme celui là j'imagine ^^.



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