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exercice fonction Ln

Posté par
billydu13 02-03-11 à 14:34

Bonjour , j'ai un exercice a faire pour la rentrée et je ne sais pas comment m'y prendre pour determiner une limite et enlever la forme indeterminée , quelqu'un aurait il la gentillesse a me l'expliquer ? Je vous en remercie d'avance

voici l'exo :

determiner les limites aux bornes :

a) f(x)=x2 +3x-xln(x)
j'ai dit que la fonction est definie sur +* car ln est definie sur +*

Etudions la limite de f en + :

f(x)=x(x+3-lnx)=x(x+3+ln(1/x)) et la je crois que c'est encore une forme indeterminée donc je ne sais pas quoi faire

et aussi faut il demontrer que lim ln(1/x) qd x+= -


sinon la suite de l'exercice c'est :

b) f(x)=(x)lnx +1

c) f(x) = xln(1+1/x) sur +*

et d) f(x)=(lnx)/(x-1) sur ]1;+[

je vous remercie beaucoup de votre aide
cdlt bill

Posté par
dhaltere : exercice fonction Ln 02-03-11 à 14:44

f(x)=x(x+3-lnx)=x(x+3+ln(1/x))
tu peux expliquer ?

Posté par
billydu13re : exercice fonction Ln 02-03-11 à 19:24

salut dhalte , en fait j'ai pu deduire cela car -ln(x)=ln(1\x)

on sait que ln(a\b)=ln(a)-ln(b)

ici , ln(1\x)=ln(1)-ln(x)=ln(e0)-ln(x)=-ln(x)

voila sinon tu n'as aucune idée pour calculer la limite dans la question a ?

merci d'avance
cdlt bill

Posté par
dhaltere : exercice fonction Ln 02-03-11 à 19:35

oui, effectivement

ça m'avait paru incongru parce que la solution est tellement plus simple

f(x)=x^2 +3x-x\ln(x)

Comportement en +\infty

Que connais-tu du cours ? \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln(x)}x=0

essayons alors de faire apparaitre cette forme

f(x)=x^2 +3x-x^2\frac{\ln(x)}x

c'est bien sûr toujours indéterminé, mais pas pour longtemps :

f(x)=x^2(1 +\frac3x-\frac{\ln(x)}x)

Ce qui est dans la parenthèse tend vers 1
ce n'est plus une forme indéterminée.

Voilà

Posté par
billydu13re : exercice fonction Ln 03-03-11 à 15:06

okay je te remercie javais oublié que pour calculer une limite le plus simple est de factoriser par le plus "haut" terme , en l'occurence ici x2

du coup ca fait que lim f(x) x+=+

pour ce qui est de la limite en - voila ce que j'ai fait :

soit f(x) = x2(1+3/x-lnx/x)

lim x2 x-=+

lim 3/x x-=0

lim lnx/x x-=0

DONC(produit) lim f(x) x-=+

est ce juste ? merci d'avance
cdlt bill

Posté par
dhaltere : exercice fonction Ln 03-03-11 à 19:18

la limite en -\infty ?

tu as dit toi-même que f(x) était définie sur \mathbb{R}^{+*}=]0;+\infty[

Pour une raison très simple, et je pensais que tu l'avais bien en tête : le logarithme népérien \ln(x) n'est défini que pour x>0

Posté par
billydu13re : exercice fonction Ln 03-03-11 à 19:40

arrhhh mince !! je suis tombé dans le panneau

Donc en fait les limites aux bornes qu'il faut calculer dans les cas a) b) c) d)  sont seulement en + et en 0+

cdlt bill

Posté par
dhaltere : exercice fonction Ln 03-03-11 à 19:41

eh oui.

Posté par
billydu13re : exercice fonction Ln 04-03-11 à 11:11

je suis désolé mais il y a encore une chose sur laquelle je bloque , c'est pour calculer les limites aux bornes de la fonction :

limite en +

f(x) = x*ln(1+1/x)

je sais que lim x x+=+
            lim 1/x x+=0
            lim ln(1+1/x) x+=0
            

j'aurais donc tendance à dire que lim f(x) x+=0 mais cela ne correspond pas graphiquement

quant à la limite en 0+ ; lim f(x) x0+=0

et derniere chose , pour la d): f(x) = (lnx)/(x-1)
peut on dire :lim lnx/x x+=0
donc lim (lnx)/(x-1) x+=0 ??



merci de ton aide
cdlt bill

Posté par
dhaltere : exercice fonction Ln 04-03-11 à 13:54

f(x)=x\ln(1+\frac1x)

comportement en +\infty

l'argument du logarithme tend vers 1, donc le logarithme tend vers 0. Multiplié par l'inconnue x qui tend vers +\infty, nous avons ici une forme indéterminée 0\times\infty !

Citation :
j'aurais donc tendance à dire que
ben non

Pur résoudre cette forme indéterminée, il faut procéder en deux étapes.

Premier résultat : montrons quelque chose qui va te paraitre d'abord assez éloigné du problème actuel :
montrons que \lim_{h\rightarrow0}\,\frac{\ln(1+h)}h=1

Pour cela, considérons l'expression T(h)=\frac{\ln(1+h)}h

nous avons aussi T(h)=\frac{\ln(1+h)-\ln(1+0)}{h-0}

Quelle bizarrerie, non ? Pourquoi faire ça ?
Parce que ce rapport est le taux de variation de la fonction g(x)=\ln(1+x) entre le point d'abscisse 0 et le point d'abscisse 0+h. Or la limite de ce taux de variation lorsque h tend vers 0 est le nombre dérivé en 0 de la fonction g.

Or g est dérivable en tout point (sauf -1, mais il ne nous intéresse pas ici), et sa fonction dérivée vaut : g'(x)=\frac1{1+x}

Donc g'(0)=1

et comme nous avons vu que \lim_{h\rightarrow0}\,T=g'(0), nous avons finalement le résultat annoncé.

C'est un résultat et une méthode à retenir

posons maintenant x=\frac1h

et dans ce cas :
\frac{\ln(1+h)}h=x\ln(1+\frac1x)

Quand h tend vers 0 (par valeurs positives), x tend vers +\infty

d'où le résultat :
\lim_{h\rightarrow0\\h>0}\,\frac{\ln(1+h)}h=\lim_{x\rightarrow+\infty}\,x\ln(1+\frac1x)=1

De la même manière
\lim_{h\rightarrow0\\h<0}\,\frac{\ln(1+h)}h=\lim_{x\rightarrow-\infty}\,x\ln(1+\frac1x)=1

Et quand x tend vers 0 ?
D'abord ce ne peut être que par valeurs positives. Dans le cas contraire, le logarithme n'est pas défini.

Ensuite : x\ln(1+\frac1x)=x\ln(\frac{x+1}x)=x\(\ln(x+1)-\ln(x)\)=x\ln(1+x)-x\ln(x)
Le premier terme, x\ln(1+x) est le produit de x qui tend vers 0 par le logarithme dont l'argument tend vers 1, donc qui tend vers 0 aussi : ce n'est pas une forme indéterminée : x\ln(1+x) tend vers 0.

Le second terme x\ln(x) demande plus d'attention :
il est le produit de x qui tend vers 0, par \ln(x) qui tend vers -\infty, d'où une forme indéterminée.

Un résultat de classe que tu dois connaitre nous rappelle que \lim_{x\rightarrow0\\x>0}\,x\ln(x)=-1

Mais je te le redémontre, parce que il fait intervenir un autre résultat de cours encore plus important à retenir :

Posons alors h=\frac1x

Alors x\ln(x)=\frac{\ln(\frac1h)}h=\frac{-\ln(h)}h

Et LE résultat que tu dois absolument retenir (on vous l'a surement démontré, mais la démonstration est plus théorique et a moins d'importance jusqu'au BAC)

\lim_{h\rightarrow+\infty}\,\frac{\ln(h)}h=0

Donc en résumé :
\lim_{x\rightarrow0\\x>0}\,x\ln(x)=\lim_{h\rightarrow+\infty}\frac{\ln(h)}h=0

Et nous pouvons alors conclure, puisque dans la somme x\ln(1+\frac1x)=x\ln(1+x)-x\ln(x), les deux termes tendent vers 0 :
\lim_{x\rightarrow0}\,x\ln(1+\frac1x)=0

exercice fonction Ln

tu as encore à montrer la limite en -1, non ? Elle est plus facile, celle-là

Posté par
billydu13re : exercice fonction Ln 04-03-11 à 14:36

re , waouu je te remercie infiniment dhalte CA c'est de la demonstration !!

quant à la limite en -1 je croyais que lorsqu'une fonction integre ln ( definie sur +*), il ne fallait calculer que la limite en + et en 0+ ??

cdlt bill

Posté par
dhaltere : exercice fonction Ln 04-03-11 à 20:07

Citation :
lorsqu'une fonction intègre ln
Qu'est-ce que entends par là ?

Veux-tu dire "lorsqu'une fonction utilise ln" ?


Dans ce cas : attention

g(x)=\ln(x) est effectivement définie uniquement pour x\in]0;+\infty[

mais h(x)=\ln(1+\frac1x) est définie pour
x\neq0 car il faut pouvoir calculer \frac1x

et surtout
1+\frac1x>0 car l'argument du logarithme doit être strictement positif.
C'est pas x qui doit être >0, c'est l'argument du logarithme.

Maintenant, il reste à résoudre l'inéquation 1+\frac1x>0 pour savoir quelles sont les valeurs de x autorisées pour la fonction h(x)=\ln(1+\frac1x).

La réponse est ]-\infty;-1[\cup]0;+\infty[

Et le graphe de cette fonction a deux branches, l'une sur le premier intervalle, l'autre sur le second.
exercice fonction Ln

c'est pareil par exemple avec la racine carrée

\sqr x n'est définie que pour x\ge0

mais la fonction
g(x)=\sqr{x+3} est définie pour x+3\ge0, c'est à dire x\ge-3


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