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Exercice fonctions

Posté par
Asao
16-04-20 à 09:44

Bonjour,
J'aurais vraiment besoin de votre aide pour cet exercice, s'il vous plaît. Je ne comprends pas comment faire certaines choses...
Merci d'avance !

Soit g la fonction suivante : g(x) = 1- (4e^x)/ (e^(2x) + 1).

Partie B
1) Donner l'ensemble de définition de g
g est définie sur

2) Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition
en -, lim g(x) = - et en +, lim g(x) = 1.

3) Déterminer la dérivée de g. En déduire le tableau de variation complet.
g'(x) = (4e^(3x+1))/(e^(2x+1))².
g'(x) >0 g(x) est strictement croissante sur .


4) Montrer qu'il existe une unique valeur sur+  telle que g() = 0.
Donner une valeur approchée de  à 10^-4 près.

Sur +, on a :
- g continue
- g monotone
- changement de signe : g(0) = -0,472 et g(1) = 0,4587.
Ainsi, il existe une unique valeur réelle sur+ (et plus précisement sur ]0;1[) telle que g() = 0.

Et 0,3863.


5) Montrer que e^ est solution de l'équation x²-4x+1 = 0.
En déduire la valeur exacte de .

Je ne vois pas du tout comment faire...

6) Donner le signe de la fonction g selon les valeurs de x.


Partie B
On considère la fonction G(x) =\int_{0}^{x}{g(t)dt}

1) Interpréter graphiquement le réel G() et en déduire que -<G()< 0.

Je ne sais pas... J'avais pensé à résoudre g(t) > 1 - 4e^t...

2)a/ Démontrer que pour t>0 , g(t)>1-4e^t.
b/ en intégrant l'inégalité précédente, montrer que pour tout réel positif x, G(x) > x-4.
c/ déterminer la limite de G(x) lorsque x tend vers +.
Interpréter le résultat obtenu.

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 09:51

bonjour
un coup de pouce pour la 5)
comment écris-tu que est solution de g(x)=0 ?
cela va être immédiat

Posté par
Asao
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 10:03

S={}.
Du coup, en résolvant l'équation x²-4x+1=0, j'obtiens x1= 2-√3 et x2= 2+√3.
Mais je ne vois aucun lien avec e^ ...

Posté par
MINOTAURE
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 10:06

Bonjour,

tu y es presque ! le plus dur est fait :

Du coup, en résolvant l'équation x²-4x+1=0, j'obtiens x1= 2-√3 et x2= 2+√3.

il reste à résoudre e^a = 2-√3 et e^a=2+√3.

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 10:10

MINOTAURE pas trop d'accord

Asao, non, écris réellement que ta fraction est nulle en

c'est ça qui te manque !

Posté par
Asao
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 10:15

Bah g() = 0 ?
Pour résoudre x1 = 2-√3, dois-je utiliser la fonction logarithme ?

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 10:20

mais remplace g(x) par son expression après avoir réduit au même dénominateur....

Posté par
Asao
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 10:23

Euh g(x) = (e^(2x)+1-4e^x)/(e^(2x)+1).
Donc j'ai g() = (e^(2)+1-4e^)/(e^(2)+1) = 0.
Mais je ne vois pas pourquoi on fait ça...

Posté par
MINOTAURE
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 10:25

g(a)=0 donc numérateur=0...

Posté par
Asao
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 10:33

soit : e^(2)+1 - 4e^.
Si je pose e = x, j'obtiens : x²-4x+1.
Et ensuite, je peux résoudre mon équation. J'obtiens x1 et x2 puis je fais x1 = e^ et idem pour x2 ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 10:35

Bonjour,

retour sur les questions d'avant :
2) Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition
en -, lim g(x) = - et en +, lim g(x) = 1.

pas d'accord.

et 3 ta dérivée est fausse donc ton tableau de variations aussi

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 10:52

et les valeurs de la 4 fausses aussi ...

Posté par
Asao
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 10:53

Je viens de refaire la dérivée et j'obtiens g'(x) =
(4e^(3x) - 4e^x)/(e^(2x+1))².
Est-ce cela ?
Concernant les limites, est-ce que celle en + est juste ? Même à la calculatrice, je trouve la même limite...

Posté par
MINOTAURE
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 10:57

Attention,  il faut résoudre x1=e^a et x2=e^a mais ne pas oublier que a est compris entre 0 et 1.

Mais il faut repartir du début, car en faisant le graphe de g on voit que les réponses 2 et 3 sont fausses. Ce qui explique pourquoi le résultat de la question 4 sera en contradiction avec le résultat de la question 5.

et pour g(0), je ne trouve pas la même chose. Je me demande si j'ai bien compris la fonction g.

C'est bien g(x)= 1 - ( (4 x (e^x) ) / (e^(2x)+1) ) ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 10:57

oui, la dérivée est juste maintenant

limite en + inf est OK
c'est celle en -inf qui est fausse

et pour la 4 par exemple e^0 = 1 et donc g(0) = 1 - (4*1)/(1+1) = certainement pas -0,472

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 11:00

 g(x) = 1-\dfrac{4e^x}{e^{2x}+1}
sinon ce n'est pas cohérent avec les questions suivantes sur la solution de g(x) = 0 dans \R^+

Posté par
Asao
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 11:10

Donc concernant g'(x), son signe dépend du numérateur ; or le numérateur est positif uniquement pour x>0. Donc, j'ai : g(x) décroissante sur ]-;0[ et g(x) croissante sur +.

Pour la 4, est compris entre 0 et 2 et j'ai = 1,3170.

Ensuite pour la question 5, sachant que est compris entre 0 et 2, la solution est e^ = 2+√3 = 1,31696.

Et enfin, pour la limite en - de g(x), c'est 1 également !

Posté par
Asao
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 11:13

Pour la question 6, est-ce que les valeurs de x dont il est question correspondent aux solutions x1 et x2 de l'équation x²-4x+1= 0 ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 11:15

Oui, c'est bon maintenant.

pour la 5 il est inutile de dire entre 0 et 2, > 0 suffit (c'est à dire e^ > 1)

Posté par
Asao
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 11:19

Ok, merci !
Pour la question 6, est-ce que les "valeurs de x" sont 2-√3 et 2+√3 ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 11:23

les valeurs de x dont il est question dans la 6 sont des intervalles.
et il s'agit du x de g(x)
pas du polynome x²-4x+1 !
(il aurait mieux valu l'écrire pour éviter des confusions X² -4X+1 d'ailleurs. X n'est pas x)


compléter le tableau de variations en faisant figurer α et -α

pourquoi -α ? parce (le prouver) c'est la solution de g(x) = 0 sur \R^- ...

Posté par
Asao
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 11:33

Aah, du coup j'ai :  g(x) positive sur ]- ; -], négative sur [- ; +] et positive sur [ ; + [.

Par contre pour le 1) de la partie B, je ne vois pas du tout comment interpréter G() (géométriquement qui plus est)...

Posté par
Asao
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 11:45

Ah si ! Je crois que G() correspond à l'aire comprise entre Cg, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=

Posté par
Asao
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 11:46

G()*

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 11:46

g(x) positive sur ]- ; -], négative sur [- ; +] et positive sur [ ; + [.

tes signes moins fantaisistes.

B1 : interpréter graphiquement une intégrale c'est parler d'aires ..
et la comparer avec une aire de rectangles

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 11:48

tu as trouvé entre temps...

Posté par
Asao
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 11:59

Yep
Du coup, pour le 1 j'ai : A = -\int_{0}^{a}{g(t)dt}.
Pour la primitive de g, j'ai : g(x) = 1- 4e^x * (1/e^(2x)+1)
soit G(x) = x- 4e^x *....
Je ne sais pas comment calculer le reste sachant que je ne dois pas utiliser la fonction logarithme...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 12:10

on ne demande pas de calculer des valeurs mais de montrer des inégalités ...

Citation :
et la comparer avec une aire de rectangles

Posté par
Asao
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 13:58

Oui mais je ne vois pas du tout comment la comparer avec une aire de rectangles...
La seule chose à laquelle je pense c'est dire que A = \int_{-a}^{0}({g(t)dt} mais je ne pense pas que ce soit correct.

Posté par
Asao
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 14:06

Ou j'aurais aussi dit, puisque la fonction est paire on a également - < G() < 0.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice fonctions 16-04-20 à 14:28

le parité de la fonction permet de dire que l'autre solution de g(x) = 0 est -α (questions de la partie A)

mais ça ne dit rien du tout de G(α ) par rapport à α

la question A6 permet de dire que sur [0; α ]     g(x) ≤ 0 et donc que G(α ) ≤ 0
(et même < 0 )

mais pour comparer par rapport à α on met l'aire G(α) dans un rectangle assez évident :

Exercice fonctions
donc |G(α)| < aire du rectangle
et en tenant compte du signe, la relation demandée

on peut aussi dire que sur [0; α ] g(x) > -1, et donc \int_0^\alpha g(x) dx >  \int_0^\alpha (-1) dx



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