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Exercice Géometrie

Posté par
lina20 11-01-14 à 21:43

Salut à tous;
J'ai un examen et je bloque sur un exercice ;j'apprécierais si quelqu'un peut m'aider à le résoudre
Exercice:
Soit P un espace affine réel de dim 2,euclidien orienté et R=(o,\vec{i} ,\vec{j},\vec{k}) un repère orthonormé  direct de P.
soient m et t deux réels strictement positifs et g l'application affine de P dans P, qui as tout point M(x,y) associe le point M'(x',y') tel que:
x'=x\log(m)-y\log(t) \\ y'=x\log(t)+y\log(m)
1)Pour quelle valeur du couple (m,t) l'application g n'est elle  pas bijective ?
2)
  A)Déterminer l'ensemble des points H(m,t) tels que g soit une homethétie.
  B)Detreminer l'ensemble F des points H(m,t) tels que g soit involutive et présiser pour chaque point H de F la         nature de g.
  C)Donner une équation de l'ensemble K des points H tel que g soit une isometrie.  

Merci d'avançe.

Lina

Posté par
ThierryPomare : Exercice Géometrie 11-01-14 à 22:02

Bonsoir,

Ton repère affine ne correspond pas à la définition que tu donnes de P. Dire que g est (resp. n'est pas) bijective revient à dire que sa partie linéaire L(g) de matrice ???? est (resp. n'est pas) bijective.


Thierry

Posté par
idmre : Exercice Géometrie 11-01-14 à 22:04

comment P peut être de dimension 2 et 3 à la fois

Posté par
idmre : Exercice Géometrie 11-01-14 à 22:09

bonsoir thierry

Posté par
franzre : Exercice Géometrie 11-01-14 à 22:11

1/ g n'est pas bijective lorsque ton système d'est pas inversible c-à-d lorsque le déterminant de l'application est nul

0=\log^2(m)-\log^2(t)\Longleftrightarrow 0=(\log(m)-\log(t))(\log(m)+\log(t))\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}m&=&t\\&ou\\m&=&\frac 1 t\end{array}\right

Posté par
ThierryPomare : Exercice Géometrie 11-01-14 à 22:20

Bonsoir Idm.

@Franz : C'est vraiment très gentil à toi de lui avoir soufflé ce que Lina aurait pu trouver toute seule. Mais, pourquoi ne pas donner des réponses aux autres questions ?

Posté par
franzre : Exercice Géometrie 11-01-14 à 22:38

2A/

g est une homothetie
ssi tout vecteur est vecteur propre
ssi \log(t)=0
ssi t=1 (et m\neq 1)

2B/

g est involutive
ssi g\circ g = id

ssi  \forall(x,y)\in{\mathbb R}^2\qquad\left\{\begin{array}{rclclclcl}x''&=&x'\log(m)-y'\log(t) & = & x(\log^2(m)-log^2(t))-2y\log(m)\log(t)& = & x\\ y'&=&x\log(t)+y\log(m) &=& 2x\log(m)\log(t)+y(\log^2(m)-l\og^2(t))&=&y \end{array}\right.

ssi  \left\{\begin{array}{ccl}\log^2(m)-\log^2(t) & = & 1\\ \log(m)\;\log(t)&=&0 \end{array}\right.


ssi  \left\{\begin{array}{ccl}t & = &1 \\ et \\ m &\in&\left\{e,\frac 1 e\right\} \end{array}\right.


\bullet \left(m,t\right)=\left(e,1\right) : g=id_P
\bullet \left(m,t\right)=\left(\frac 1 e,1\right) : g=-id_P

Posté par
franzre : Exercice Géometrie 11-01-14 à 22:55

2C/

g isométrie g.^tg=id_P

ssi \log^2(m)+\log^2(t)=1

ssi \exists \alpha\in[0,2\pi[\qquad tq\;\qquad\left\{\begin{array}{rcl}\log(m)&=&\cos(\alpha)\\\log(t)&=&\sin(\alpha)\end{array}\right.

ssi \left\{\begin{array}{ccl}m%20&%20=%20&e^{\cos\alpha}%20\\t%20&%20=%20&e^{\sin\alpha}\end{array}\right.

Exercice Géometrie

Posté par
lina20re : Exercice Géometrie 11-01-14 à 23:46

Merci beaucoup pour l'explication franz.
c'est très gentil de ta part
Pourriez vous me conseiller un livre de géométrie qui contient  des exercices corrigés comme cet exercice(c'est un exercice d'examen) pour s'entraîner.

Lina

Posté par
lina20re : Exercice Géometrie 12-01-14 à 00:03

Salut;
J'ai un autre exercice d'examen ou j'ai rien pigé
Exercice:  
Soit E un espace affine de dimension 3 attaché a un espace vectoriel \vec{E} et soit R=(o,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) un repére de E. on considére (\pi) le plan d'équation :
    x-y+z=0; la droite (\Delta) d'équations :x-z=2,y+z=1 et \sigma la symétrie par rapport à (\Delta)  parallelement à (\pi).
    1)Déterminer la representation analytique de  \sigma dans le repére (o,\vec{i},\vec{j},\vec{k}).
    2)soient P le plan d'équations x-y+2z=1 et D le support de l'axe (o;\vec{i}).En utilisant les propriétés de \sigma trouver une relation entre \sigma(P) et \sigma^{-1}(P).
    3)Déterminer les ensembles: \sigma(P),\sigma^{-1}(P); \sigma(D)et \sigma^{-1}(D).

J'attend une explication.(comment déterminer la représentation analytique et trouver une relation !)
Merci d'avance.

Lina

Posté par
franzre : Exercice Géometrie 12-01-14 à 00:59

Je n'ai pas de livre particulier.

La symétrie \sigma par rapport à D parallelement à \pi veut dire que le milieu de [M,\sigma(M)]\in\Delta et que \vec{M\sigma(M)}\in\vec \pi

En posant
\vec u\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)
\vec v\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right)
(\vec u,\vec v) est une base de \vec \pi

en notant M'=\sigma(M)

\begin{array}{ccc}\vec{MM'}\in\vec \pi&\quad \Longleftrightarrow\quad &\det(\vec{MM'},\vec u,\vec v)=0\\&\Longleftrightarrow &\left|\begin{array}{ccc}x'-x&1&0\\y'-y&1&1\\z'-z&0&1\end{array}\right|=0\\&\Longleftrightarrow &(x'-x)-(y'-y)+(z'-z)=0\\&\Longleftrightarrow &x'-y'+z'=x-y+z\end{array}

\begin{array}{ccc}\text{le milieu de} [MM']\in\vec \Delta&\quad \Longleftrightarrow\quad & \left\{\begin{array}{ccc}\frac 1 2(x'+x)-\frac 1 2(z'+z)&=&2\\\frac 1 2(y'+y)+\frac 1 2(z'+z)&=&1\end{array}\right.\\&\quad \Longleftrightarrow\quad & \left\{\begin{array}{ccc}x'-z'&=&-x+z+4\\y'+z'&=&-y-z+2\end{array}\right.\end{array}

Pour conclure il faut résoudre le système :
\left\{\begin{array}{ccc}x'-y'+z'&=&x-y+z\\x'-z'&=&-x+z+4\\y'+z'&=&-y-z+2\end{array}\right.

ce qui donne
\left\{\begin{array}{ccl}x'&=&\frac 1 3 (-x-2y+2z+10)\\y'&=&\frac 1 3 (-2x-y-2z+8)\\z'&=&\frac 1 3 (2x-2y-z-2)\end{array}\right.

Posté par
lina20re : Exercice Géometrie 12-01-14 à 01:28

Merci pour l'explication.
Désolé je me pose beaucoup trop de question
Et pour la deuxième questions comment trouver une relation entre \sigma(P) \;et\; \sigma^{-1}(P)?

Posté par
franzre : Exercice Géometrie 12-01-14 à 07:49

une symétrie est involutive don \sigma=\sigma^{-1}

Posté par
lina20re : Exercice Géometrie 14-01-14 à 16:29

Salut franz;
2) Pour calculer  \sigma^{-1} il faut calculer l'inverse de la matrice associée, mais la matrice a 4 colonnes et 3 lignes.
Donc comment calculer \sigma^{-1} ?

Lina

Posté par
lina20re : Exercice Géometrie 16-01-14 à 20:08

Pas de réponse

Posté par
lina20re : Exercice Géometrie 19-01-14 à 11:01

pas de réponse ?

Posté par
franzre : Exercice Géometrie 22-01-14 à 01:53

\sigma^{-1}=\sigma

Je t'ai fourni \sigma. Aucun calcul n'est nécessaire.

Posté par
lina20re : Exercice Géometrie 22-01-14 à 18:02

Salut franz ;
Je n'ai pas compris ,on a pas fait cette définition "g est une homothétie ssi tout vecteur est vecteur propre"
Peux_tu m'expliquer?

Posté par
lina20re : Exercice Géometrie 22-01-14 à 19:06

Et comment déterminer l'ensemble \sigma(P)?


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