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Exercice - Géométrie - Barycentres

Posté par
puisea Posteur d'énigmes 31-10-06 à 15:15

Bonjour à tous,

J'aurai véritablement besoin d'aide pour cet exercice qui est l'exercice type que je déteste . Je ne vois vraiment pas comment aborder le problème.

Voici l'exo en question :

1. Soient A, B et C, trois points du plan. Quel est le lieu des points M du plan tels que :

MA² = MB² + MC²

2. Soit 5$\scr{C} le cercle de centre O et de rayon R > 0.

a) On fixe un point B du plan. Quels sont les lieux des points A et des points C tels que :

5$\scr{C} = {M : MA² = MB² + MC²}

b) On fixe maintenant un point A du plan. Quels sont les lieux des points B et des points C tels que :

5$\scr{C} = {M : MA² = MB² + MC²}

Voila

Merci d'avance de votre aide !

Ayant pas mal de boulot à coté, je risque d'avoir du mal à suivre l'évolution du topic, mais je vais essayer de revenir régulièrement pour voir ce que ca donne et tenter d'approfondir.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 15:18

Bonjour,

1. Introduis I, milieu de [BC], puis utilise un théorème de la médiane.

Nicolas

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 17:12

Merci pour ton intervention Nicolas

Alors en essayant d'exploiter ton indication, on a :

4$ \vec{MA}^2-\vec{MB}^2-\vec{MC}^2 = 0

On introduit I milieu de [BC].

4$(\vec{MI}+\vec{IA})^2-(\vec{MI}+\vec{IB})^2-(\vec{MI}+\vec{IC})^2=0

On peut éventuellement développer, mais je vois pas comment utiliser le théorème de la médiane avec ce que l'on obtient..

Th. de la médiane avec I milieu de BC :

AB^2 + AC^2 = 2BI^2 +2AI^2

AB^2 + AC^2 = \frac{1}{2}BC^2 +2AI^2

Merci

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 17:28

Autre raisonnement :

On a, sauf erreur, avec G barycentre de {(A,1)(B,-1)(C,-1)} :

4$ MA^2 - MB^2 - MC^2 = -MG^2 + GA^2 - GB^2 - GC^2

Mais qu'en conclure sur le lieu géométrique des points M ?

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 17:39

Pour revenir à l'indication de Nicolas :

Si on développe, on a :

4$-MI^2+2\vec{MI}(\vec{IA}-\vec{IB}-\vec{IC})+IA^2-IB^2-IC^2=0

Ce qui revient à :

4$-MI^2-2\vec{MI}.\vec{IC}-IC^2=0

4$MI^2+2\vec{MI}.\vec{IC}+IC^2=0

4$(\vec{MI}+\vec{IC})^2=0

MC= 0

Ca me parait bizarre...

Posté par
kaiser Moderateurre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 17:40

Bonsoir puisea et Nicolas

puisea> Les points M recherchés vérifient donc l'égalité \Large{MG^{2}=GA^{2}-GB^{2}-GC^{2}}.

ça ne te rappelle rien ?

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 17:54

Salut Kaiser

En repartant de mon message de 17h28

On a :

Avec G barycentre de {(A,1)(B,-1)(C,-1)} :

4$%20MA^2%20-%20MB^2%20-%20MC^2%20=%20-MG^2%20+%20GA^2%20-%20GB^2%20-%20GC^2=0

Et donc effectivement :

\Large{MG^{2}=GA^{2}-GB^{2}-GC^{2}}

Ce qui devrait me rappeller quelque chose effectivement... mais moi et les barycentres ca fait deux...

Ca doit, à mon avis, faire un cercle de centre G.

Non désolé, ca me rappelle rien...

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 18:04

Je me permets de faire remonter le topic, étant donné le flot de messages aujourd'hui

Posté par
kaiser Moderateurre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 18:07

Citation :
Ca doit, à mon avis, faire un cercle de centre G.


C'est à cela que je faisais allusion.
Par contre, ça ne fait pas toujours un cercle (ça peut faire l'ensemble vide).

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 18:11

D'accord, merci kaiser.

Cela aurait fait l'ensemble vide dans le cas où le barycentre G n'aurait pas été définit ?

Pour les autres questions, qu'est-ce qui change avec la fixation d'un des points ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 18:19

Citation :
Cela aurait fait l'ensemble vide dans le cas où le barycentre G n'aurait pas été définit ?


Non, car ce barycentre est toujours défini quels que soient les points A, B et C (car la somme est des coefficients est toujours non nulle).
Par contre, rien n'empêche d'avoir \Large{GA^{2}-GB^{2}-GC^{2}<0}, auquel cas aucun point M ne vérifie l'égalité \Large{MG^{2}=GA^{2}-GB^{2}-GC^{2}}.

Citation :
Pour les autres questions, qu'est-ce qui change avec la fixation d'un des points ?


Ici, on ne recherche plus l'ensemble des points M qui vérifient etc... mais on se le fixe une fois pour toute mais l'idée est bien sûr d'utiliser la question précédente.

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 18:26

Ah oui exact !

Quand je parlais de l'existence de G, je pensais dans un cas plus général ou les coefficients initiaux auraient été différents et où la somme aurait été nulle.

Pour les autres question, il est logique de réutiliser la question précédente.

Si j'ai bien compris, on a un point M quelconque sur le cercle, un point fixé, et il faut trouver le lieu des deux autres vérifiant la propriété.

Passage en coordonnées cartésiennes ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 18:36

Citation :
Si j'ai bien compris, on a un point M quelconque sur le cercle, un point fixé, et il faut trouver le lieu des deux autres vérifiant la propriété.


c'est bien ça.

Citation :
Passage en coordonnées cartésiennes ?


Ce n'est peut-être pas nécessaire. Si A et C vérifient cette propriété, alors d'après la question précédente, on doit avoir que \Large{\scr{C}} est le cercle de centre G et de rayon \Large{\sqrt{GA^{2}-GB^{2}-GC^{2}}}.
Par unicité du centre et du rayon d'un cercle, on obtient une condition sur A et C.

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 18:42

Merci pour ton aide répétée Kaiser, mais sur ce dernier message, j'ai du mal à te suivre :

On nous dis dans l'énoncé que le cercle est de centre O, comment en arrives-tu à dire que le centre est G ?

Sinon pour le rayon je suis d'accord, l'unicité également... Mais étant donné que l'on cherche le lieu géométrique de deux points à partir d'une équation (celle du rayon), comment avoir des propriétés indépendantes pour A et pour C ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 18:50

Citation :
On nous dis dans l'énoncé que le cercle est de centre O, comment en arrives-tu à dire que le centre est G ?


On fixe au départ le point B et on considère A et C tel que

\Large{\scr{C} =\{M/ MA^{2}=MB^{2}+MC^{2}\}}.

Or on sait que l'ensemble \Large{\{M/ MA^{2}=MB^{2}+MC^{2}\}} est le cercle de centre G et de rayon
\Large{\sqrt{GA^{2}-GB^{2}-GC^{2}}} d'après la première question (car le cercle de centre O et de rayon R est non vide).

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 18:56

Oui je suis d'accord. En fait le O de l'énoncé est le G, barycentre.

Donc on a

\Large{R^2 = GA^{2}-GB^{2}-GC^{2}}

Mais comment en tirer une condition sur A et une sur C ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Exercice - Géométrie - Barycentres 31-10-06 à 20:05

Citation :
En fait le O de l'énoncé est le G, barycentre.


C'est un peu plus fort que ça.
En fait, O et B sont fixés au départ et si A et C sont des points tels que
\Large{\scr{C}%20=\{M/%20MA^{2}=MB^{2}+MC^{2}\}}, alors le barycentre des points (A,1), (B,-1) et (C,-1) c'est toujours O (il ne dépend ni de A, ni de B, ni de C).

Ainsi, on a deux égalités.

\Large{\{R^2%20=%20GA^{2}-GB^{2}-GC^{2}\\ \vec{OA}=\vec{OB}+\vec{OC}}.

La deuxième égalité est équivalente à dire que \Large{\vec{OB}=\vec{CA}}

La première égalité se transforme ainsi :

\Large{R^2+GB^{2}=GA^{2}-GC^{2}}

Le terme de droite peut s'arranger en faisant intervenir le milieu du segment [AC].

Kaiser


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