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Exercice L1 nombre complexe

Posté par
olive_68 17-07-09 à 22:10

Bonjour

Je m'entraine et j'aimerais bien voir si j'ai juste surtout pour les solutions et si c'est bien rédigé,rigoureux et si il n'y avait pas plus cours


Citation :
4$\fbox{1.}  Résoudre dans 4$\bb{C} l'équation 3$\(\cal{E}\) \ : \ \ z^3-2z^2-iz+3-i=0 sachant que l'une des solutions est réelle .


On peut écrire également 3$\(\cal{E}\) de la manière suivante :

3$\(\cal{E}\) \ : \ \ z^3-2z^2+3-i(z+1)=0

Or une solution est réelle donc le terme 3$-i(z+1) va valloir 3$0

De là on en déduit que 3$z_0=-1 est une racine de \(\cal{E}\)  ((-1)^2-2(-1)^2-i\times (-1)+3-i=-1-2+i-i+3=0 \to )

On nomme 3$\cal{P}(z) le polynôme 3$\cal{P}(z)=z^3-2z^2-iz+3-i, un polynôme admettant une racine 3$z_0 peut s'écrire 3$\cal{P}(z)=(z-z_0)\cal{Q}(z) avec 3$\cal{Q}(z) un polynône de degré inférieur à 3$\cal{P}(z)

Donc 3$\cal{P}(z)=(z+1)(z^2+az+bz+c+d) \ \ \ a,c\in \bb{R}   3$ b,d \in \bb{C}/\bb{R}

Soit 3$\cal{P}(z)=z^3+az^2+bz^2+cz+dz+z^2+az+bz+c+d=z^3+z^2(a+b+1)+z(c+d+a+b)+c+d

On procède par identification et on résoud : 3$\{a+b+1=-2 \\ a+b+c+d=-i \\ c+d=3-i

De la on a 3$\{a+b=-3 \\ a+b+c+d=-i \\ c+d=3-i

Or 3$b,d sont imaginaire pur et 3$a,c des nombres réels

Donc en identifiant les parties réelles et imaginaires on a :

3$\{a=-3 \\ b=0 \\ c=3 \\ d=-i

D'où 3$\cal{P}(z)=(z+1)(z^2-3z+3-i)

On cherche dès à présent lorsque le trinôme 3$z^2-3z+3-i est nul, c'est une trinôme à coefficient complexe donc :

3$\delta^2=(-3)^2-4\times 1\times (3-i)=9-12+4i=-3+4i

D'ou 3$z_1=\fr{3+\sqrt{-3+4i}}{2} et 3$z_2=\fr{3-\sqrt{-3+4i}}{2}

Possible ça ? je n'avais jamais vu de nombre imaginaire sous une racine .. J'ai trouvé cette formule sur wikipédia ..

Merci d'avance

Posté par
girdavre : Exercice L1 nombre complexe 17-07-09 à 22:44

Bonsoir.
Les calculs sont corrects.
A présent pour avancer il faut trouver un nombre complexe, disons \Delta ("petit" \delta est déjà pris) tels que \Delta^2 =\delta.
On peut poser \Delta = a+ib et chercher a et b qui satisfont à la relation-ci dessus.

Posté par
olive_68re : Exercice L1 nombre complexe 17-07-09 à 23:00

Ah c'était donc ça qu'il y avait dans le lien,

Bah 3$\Delta=-3+4i non ?

Enfin dans mon post j'ai mis déja 3$\delta^2 et non 3$\Delta\to Ca change quelque chose ?

Posté par
girdavre : Exercice L1 nombre complexe 17-07-09 à 23:09

On peut changer les notations et écrire \Delta = -3+4i =\delta^2 = \(a+ib\)^2= a^2-b^2 + 2abi.

Posté par
slorevivre : Exercice L1 nombre complexe 17-07-09 à 23:16

bonsoir
mon conseil est toujours de ne pas ecrire \sqrt {z}  avec z autre chose qu'un reel positif ,
donc cherche avec ta notation Olive
\delta= (a+ib) telq :
a,b, reels et (a+ib)²=-3+4i,
ca te fera un systeme en a et b
et tu peux utiliser le module de (a+ib)²=-3+4i ( une egalite de plus )alors la c'est 3 equations deux inconnues ...facile pour toi Olive !

Posté par
slorevivre : Exercice L1 nombre complexe 17-07-09 à 23:17

desolee girdav decidement je m'ennuie ce soir , je pietine chez les autres!

Posté par
olive_68re : Exercice L1 nombre complexe 17-07-09 à 23:18

Ah ok je vois ..

Donc 3$\{a^2-b^2=-3 \\ \ \ \ 2ab=4

Soit 3$\{a^2=-3+b^2 \\ ab=2

D'où les couples 3$\ (a,b) \to \ \{ \(1;2\) \\ \(-1;-2\) ..

C'est ça qu'il faut faire?

Posté par
slorevivre : Exercice L1 nombre complexe 17-07-09 à 23:24

oui!!!bravo

Posté par
olive_68re : Exercice L1 nombre complexe 17-07-09 à 23:26

Bonsoir sloreviv

Merci de répondre, j'avais pas vu au moment ou j'ai posté.. euh pas besoin d'introduire une troisième égalité alors ? car la j'ai deux couples ..

Désolé si je suis un peu lourd mais je n'ai jamais jamais fais ça ..

Merci  

Posté par
slorevivre : Exercice L1 nombre complexe 17-07-09 à 23:29

car un complexe a deux racines carrees aucune n'etant mieux que l'autre : ex (5-12i)=(3-2i)²
et (5-12i)=(-3+2i)²aucun des deux nombres (3-2i) et (-3+2i) n'est mieux que l'autre donc pas de symbole \sqrt{ z} dans les Complexes sauf si z est reel positif

Posté par
olive_68re : Exercice L1 nombre complexe 17-07-09 à 23:34

Ok Merci je ne savais pas ^^ C'est génial enfait ! on se débarrasse de la racine à l'aise là

Du coup j'ai 3$z_1=\fr{3+(1+2i)}{2}=2+i et 3$z_2=\fr{3-(1+2i)}{2}=1+i

Je préfère beaucoup plus cette forme !!

Posté par
olive_68re : Exercice L1 nombre complexe 18-07-09 à 09:18

La deuxième question était

3$\fbox{2.}  Montrer que les solutions sont affixes des sommets d'un triangle rectangle isocèle

Donc j'en déduis que ce que j'ai fais avant est faux .. puisque sur le déssin je le vois que c'est moche  et que ça ne marchera pas..

Posté par
olive_68re : Exercice L1 nombre complexe 18-07-09 à 09:19

En lisible,

Citation :
4$\fbox{2.}Montrer que les solutions sont affixes des sommets d'un triangle rectangle isocèle

Posté par
slorevivre : Exercice L1 nombre complexe 18-07-09 à 09:43

erreur msg 23.34 olive :1-i à la place de 1+i,
sinon ok pour la fin regarde ton  dessin

Posté par
olive_68re : Exercice L1 nombre complexe 18-07-09 à 09:54

^^' Mes éternelles énnemies \to ces fautes d'inattentions..

Ben la c'est easy, on remarque très vite par le calcul que 3$\red \fbox{z_0=e^{i\fr{\pi}{2}}\(z_1-z_2)+z_2 et ça tombe bien puisque ça veut dire que le point d'affixe 3$\blue M_0 est l'image de 3$\blue M_1 par la rotation de centre 3$\blue,M_2 et d'angle 3$\blue \theta=\fr{\pi}{2}

Ceci prouve que les solutions sont affixes des sommets du triangle 3$\green M_0M_1M_2 qui est isocèle et rectangle

Merci beaucoup

Posté par
Arkhnorre : Exercice L1 nombre complexe 18-07-09 à 10:48

Bonjour.

Lorsque tu trouves une racine à un polynôme, et que tu cherches à le factoriser, une méthode plus rapide que d'identifier les coefficients (ce qui peut devenir assez vite très lourd pour des degrés élevés) consiste à effectuer une division euclidienne.

C'est le même principe que la division euclidienne dans Z, tu fais tes deux colonnes, et au lieu d'avoir des chiffres, tu as des monômes.
Tu t'arrêtes dès que le degré du reste est strictement inférieur à celui du diviseur. (le reste doit être nul si tu divises bien par un facteur du polynôme)

Je te laisse te documenter sur ça.

Posté par
olive_68re : Exercice L1 nombre complexe 18-07-09 à 10:54

Bonjour Arkhnor

Ok merci je vais voir tout de suite ce que je peux trouver sur le net

Posté par
Arkhnorre : Exercice L1 nombre complexe 18-07-09 à 10:56

Sur ce site (), la méthode est illustré par un exemple, et il y a un petit programme qui calcule les divisions euclidiennes.

Posté par
olive_68re : Exercice L1 nombre complexe 18-07-09 à 11:04

Merci pour le site,

Ben en sois c'est pas très compliqué mais ça marche aussi avec des coefficients complexes ?

Posté par
Arkhnorre : Exercice L1 nombre complexe 18-07-09 à 11:40

Ca marche aussi, en fait ça marche avec les polynômes à coefficients dans un corps, tu verras ça un jour.

Posté par
olive_68re : Exercice L1 nombre complexe 18-07-09 à 12:05

Ok ok merci Oui surement l'année prochaine enfin j'en sais rien à vrai dire

Merci pour la méthode

Posté par
Arkhnorre : Exercice L1 nombre complexe 18-07-09 à 12:10

De rien. (oui, en principe, c'est l'année prochaine )


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