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Exercice Logarithme Néperien

Posté par
inesines2198
20-02-16 à 14:33

Bonjour,

je suis au CNED et j'ai un exercice que je n'arrive pas du tout à résoudre.

J'ai juste réussi l'étude de la fonction afin de prouver que la fonction est croissante et compléter le tableau mais je n'arrive pas à la suite. J'aimerais bien de l'aide s'il vous plait.

Merci

Exercice

Soit f la fonction définie sur [0 ;+infini [ par f(x)= 1/2ln( x^3 +1).
1. Montrer que f est croissante sur [0 ;+∞ [. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 1[
On considère la suite (un) définie par u0 =1 et pour tout n de N, un+1=f (un ).

2. a) Démontrer que pour tout n de N, 0 ≤un+1≤un ≤1.
b) En déduire la convergence de la suite (un ).

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice Logarithme Néperien 20-02-16 à 14:50

Bonjour
oui, tu peux faire cela par récurrence
montre que tu peux initialiser càd que :
0u_1u_01

puis ta récurrence
vrai au rang p et tu passes au rang suivant en appliquant f à tes inégalités (possible car f est croissante)
essaie

Posté par
Elisabeth67
re : Exercice Logarithme Néperien 20-02-16 à 14:57

Bonjour inesines2198 ,

Tu peux démontrer  0 ≤ un+1 ≤ un  ≤1 par récurrence

On initialise pour n = 0  :

u0 = 1     u1 = 1/2ln2 0,347

Donc la propriété est vérifiée


Hérédité

On suppose que  0 ≤ un+1 ≤ un  ≤1 , et on montre qu'alors   0 ≤ un+2 ≤ un+1  ≤1 est vraie

0 ≤ un+1 ≤ un  ≤1

Comme f est monotone croissante sur [0;1] , l'ordre des images est conservé . Donc

f(0 )≤ f(un+1)≤ f(un ) ≤ f(1)

Je te laisse terminer .

Posté par
Elisabeth67
re : Exercice Logarithme Néperien 20-02-16 à 14:59

Bonjour malou  , j'arrive encore quand le train est  passé ....

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice Logarithme Néperien 20-02-16 à 15:04

non, mais le train ne passe qu'une fois !!
Prends la main, je dépanne quand je peux, et je dois passer à autre chose...modo oblige...
Bonne après-midi à toi !

Posté par
inesines2198
re : Exercice Logarithme Néperien 20-02-16 à 15:25

Merci j'ai réussi

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice Logarithme Néperien 20-02-16 à 15:40



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