Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Exercice logarithme neperien
Bonjour, j'ai un exercice de maths sur le logarithme neperien dont je n'arrive pas totalement. J'espère que vous pourrez m aider. Merci d'avance.
Partie A :
Soit g la fonction définie sur ]0;+infini[ par 2x^3 -1+2ln(x).
1) Étudier les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
2) démontrer que g'(x) = (6x^3 +2)/x.
Étudier le signe de g' sur ]0;+infini[ et dresser le tableau de variations de g.
3a) Démontrer que l'équation g(x) =0 admet une unique solution alpha dans
]0;+infini[.
b) Donner une valeur approchée au centième de alpha.
c) En déduire le signe de g sur ]0;+infini[.
Partie B :
Soit f la fonction définie sur ]0;+infini[ par 2x - (ln(x))/x^2.
1) démontrer que pour tout x > 0, f'(x) = g(x) / x^3.
2) Étudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
3) dresser le tableau de variations de f sur ]0;+infini[.
Pour la partie A je pense avoir tout trouver, dites moi si cela est correct ou non.
1) J'ai trouvé que la limite de g(x) en 0 est - infini et que la limite de g(x) en + infini c'est + infini.
2) G(x) est de la forme u+v soit g'(x) = u'+v' soit 6x^2 + 2/x soit (6x^3 + 2) /x.
3a) g(x) est continue et monotone.
Limite de g(x) en 0 est - infini et limite de g(x) en + infini est + infini soit 0 appartient à ]0;+infini[.
Donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x) admet une unique solution alpha appartient à ]0;+infini[.
3b) alpha environ égal à 0.86.
3c) g(x) < 0 sur ]0; alpha[.
g(x) > 0 sur ]alpha ; + infini[.
J'espère avoir bon pour la partie A.
Cependant pour la partie B en dérivant je ne trouve pas ce qu'il faut, donc si vous pourriez m aider sil vous plait.
Merci d'avance pour votre aide.
Et pour la question 2 Partie A j'ai mis que g'(x) est strictement positive sur ]0;+infini[ et donc que g(x) est strictement croissante sur ]0;+infini[.
D'accord merci.
f(x) = u - v/w = u'- (vw'-v'w)/w^2
Et au final je trouve 2- (x-2xln(x)/x^4.
Avec u = 2x soit u' = 2
Avec v = ln(x) soit v' = 1/x
Avec w = x^2 soit w' = 2x.
Ou sont mes erreurs et pouvez sil vous plait me mettre sur la bonne voie.
Ah oui mince.
Donc d'abord il faut que je dérive -ln(x) / x^2, et après je fais la dérivée De 2x soit x^2 + la dérivée que j'aurais trouvé pour -ln(x) / x^2 ? Est ce bien ça ou pas du tout ?
En effet, je pense que c'est la fatigue qui parlait ... Évidemment sa dérivée est 2.
Donc cela fait 2 + la dérivée de -ln(x) / x^2.
Donc j'ai trouvé 2 + (-x^2+2x^2ln(x))/x^5.
Je pense que je me suis trompé...
bonjour à tous deux
pour te dépanner en attendant le retour de Yzz.
pour le moment, c'est juste.
simplifie la fraction (tu peux puisque x
0) puis mets sur dénominateur commun.
tu vas tomber sur l'énoncé de la question B.1)
Bonjour carita, merci de me venir en aide.
Si je simplifie ma fraction ça donnerait 
-1 + 2 ln(x)) / x . Est ce bien ça ?
on parle de la seule fraction : par quoi as-tu simplifié au numérateur ?
tu dois simplifier par la même quantité au dénominateur.
ceci fait, mets sur déno commun;
tu sais à quoi tu dois arriver : reste à joindre les deux bouts 
reprends.
Si je simplifie ma fraction ça donnerait (-1 + 2x^2 ln(x)) / x^3 car jai simplifie par x^2.
Et après je rajoute la dérivée de 2x. qui est 2 et ça me donne 2 + (-1 + 2x^2 ln(x)) / x^3 et en mettant sur même dénominateur j'obtiens (2x^3 - 1 + 2x^2 ln(x)) / x^3.
Cependant il me reste au numérateur un x^2 en trop, je ne vois pas comment l'enlever étant donné que je dois avoir à la fin du calcul un dénominateur égal x^3 donc je ne peux plus rien toucher ...
non, tu te noies dans un verre d'eau par étourderie
au numérateur : tu dois factoriser x² sur tous les termes pour pouvoir simplifier
(soit en l'écrivant sur le brouillon, soit 'virtuellement' si tu as l'habitude)
je repars de ton expression de 9h45 :
Aaah daccord, je pensais à factoriser mais je m'étais dit que ça allait causer un problème alors que c'était la solution ..
Merci beaucoup je comprends mieux maintenant.
Pour la question suivante où il faut calculer les limites je trouve des formes indéterminées car -ln(x) / x^2 que ce soit en 0 ou en + infini me donne infini/infini donc forme indéterminée.
Pour trouver les limites il faut donc que je factorise non ? Mais comment ?
pour la limite en 0+, il n'y a pas de forme indéterminée
montre les détails de ton raisonnement.
pour la limite en +
, tu as dans le cours n entier naturel non nul (croissance comparée)
C'est normal donc que je trouve la même limite pour 0 et pour + infini ? Je ne devrais pas en trouver deux différentes ?
Sinon pour la 3c, la fonction f est strictement croissante car g est strictement croissante et x^2 strictement positif.
bien sûr que l'on peut avoir une limite identique aux deux bornes... tout dépend de la variation de f.
en revanche, tu dis de grosses bêtises pour la variation de f... 
la variation de f dépend du signe de f'
Ah d'accord.
Pour les variations de f il faut que je regarde g'(x) du coup vu que c'est le numerateur de f'(x) ?
Dans ce cas f serait décroissante sur ]0;alpha[ et croissante sur ]alpha; + infini[.
Est ce correct désormais ?
presque
on a établi que f'(x) = g(x) / x³
donc, sur R+, f'(x) est du signe de g(x) --- et non pas de g '(x)
dont on a étudié le signe en A.2c)
d'où la variation que tu as dite (à présenter dans un tableau sur ta copie, bien sûr)
tout est ok ?
Oui j'avais juste oublié de dire que il faut regarder g(x) parce que f(x) est du même signe que lui.
Oui évidemment je présente dans un tableau.
Je pense avoir tout compris, merci beaucoup pour toute l'aide que tu m'as apporté !
Annuler
connectez vous