Bonjour, alors voilà j'ai un exercice à faire pour le 18/10, j'ai fait toute la partie A) mais j'ai quelques soucis avec la partie B)
Dans tout cet exercice, les matrices sont des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réel.
J'ai une matrice A une matrice de M₂ (), on m'explique ce qu'est le det(A) et la tr(A)
On note I₂ la matrice d'identité d'ordre 2
Dans la partie A)
Soit A et B deux matrices de M₂ (), calculer (A.B) j'ai fait,
a) j'ai montrer que le det(AB)=det(A).det(B)
b) j'ai aussi montrer que on a la relation A²-tr(A).A+det(A).I₂=0
Je vous affiche toutes les matrices de mon enoncé dans l'image que je join.
c) soit A une matrice. J'ai calculé A² grâce à la relation précédente. Il fallait en déduire A³ et Aⁿ ce que j'ai fait.
Jusque là tout va à peu près bien mais c'est pour la partie B que je bloque
Dans la partie B)
on veut montrer que pour tout M₂(), si A³=0, alors A²=0,
1) Calculez (afficher dans l'image) je l'ai fait
2) Soit AM₂() telle que A³=0.
a) Montrer que det(A)=0 (A partir de là je bloque)
b)En déduire d'après la question (b,partie A) une relation entre A² et A.
c)Démontrer alors que A²=0 (on pourra distinguer 2 cas selon si tr(A)=0 ou non, et utiliser astucieusement la relation trouvée à la question précédente).
Merci d'avance pour votre aide