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Exercice Matrice et système

Posté par
Yellowstone 26-10-15 à 17:14

Bonjour j'ai un DM à rendre, et j'ai des difficultés sur certains points, merci à l'avance de votre aide!

L'énoncé :
Dans une zone de marais on s'intéresse à la population des libellules.
On note P0 la population initiale et Pn la population au bout de n années.
On note p la suite définie sur IN qui à tout n associe Pn
Des études ont permis de modéliser l'évolution de la population de la manière suivante :
Pour tout entier naturel n, on a : Pn+2= 3/2Pn+1 - 1/2Pn avec p0=40 000 et p1= 60 000

1) Calculer p2 et p3 :
Donc p2 = 3/2x60000 - 1/2x40000 = 70 000
Et donc p3 = 3/2x70000 - 1/2x60000 = 75 000 ?


2) On considère pour tout entier naturel n la matrice colonne Ln= ( Pn
                                                                                      Pn+1 )
a) Déterminer L0, écrire Ln+1 (Exprimer ces coefficients en fonctions de Pn et Pn+1 )
Puis déterminer la matrice carrée T d'ordre 2 tel que pour tout n appartenant à IN, on a : Ln+1= TLn
Soit L0= ( 0 40000)
Ln+1 = (  0   -1
            3/2  1/2)

Et je ne comprend pas comment trouver T et comment le justifier, même si j'ai trouvé la suite dans le b)

b) Soit les matrices M = ( 1  2 et N = ( 1  0  
                                  1  1)         0  1/2)
Déterminer M^-1 puis vérifié que T = MNM^-1

Soit M^-1 = ( -1  2
                  1 -1 )            

MNM^-1 = ( 0    1
            -1/2  3/2 )

c) En admettant que les puissances de la matrice N se déterminent en calculant les puissances des coefficients de la diagonale, donner la matrice N^n en fonction de n, puis en déduire T^n en fonction de n. (Aide : T^2 = TT = MNM^-1MNM^-1 = MN^2M^-1 car M^-1M = I2....)
Je ne comprend pas ici comment trouver N^n ? et ainsi T^n

d) On admet que le résultat de la question a) permet d'affirmer que pour tout n appartenant à IN, Ln = T^n L0.
Déterminer Ln (Exprimer ses coefficients en fonction de n.) ; puis en déduire pn en fonction de n.
Pas compris encore une fois...

3.a. Déterminer la limite en +infini de la suite p.

On m'a dit que c'était de 80 000 mais je ne sais pas comment le prouver du coup.

b. Que peut-on en déduire concernant l'évolution de la population de libellules au bout d'un nombre d'années suffisamment grand ?
On en déduit que l'évolution de la population de libellules au bout d'un certain nombre d'année stagne.

Posté par
fenamat84re : Exercice Matrice et système 26-10-15 à 17:56

Bonjour,

1) Les valeurs de P2 et P3 sont correctes.
2a) Ta matrice colonne L0 est fausse !!

On a : L_0=\begin{pmatrix}P_0\\P_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}40000\\60000\end{pmatrix} !!
De plus,

L_{n+1}=\begin{pmatrix}P_{n+1}\\P_{n+2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}P_{n+1}\\\frac{3}{2}P_{n+1}-\frac{1}{2}P_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}P_n\\P_{n+1}\end{pmatrix}=T*L_n.

avec T=\begin{pmatrix}0&1\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix} qui est bien une matrice carrée d'ordre 2.

Posté par
fenamat84re : Exercice Matrice et système 26-10-15 à 18:09

2b) Ok pour M-1. Et donc le calcul de MNM-1, tu dois trouver la matrice T trouvée lors de la question 2a) !!

2c) D'après l'énoncé, on admet que les puissances de la matrice N se déterminent en calculant les puissances des coefficients de la diagonale.
Donc :

N^n=\begin{pmatrix}1^n&0\\0&(\frac{1}{2})^n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&(\frac{1}{2})^n\end{pmatrix} tout simplement.
Pour T^n, on t'aide en te donnant l'indication : T² = MN²M-1 !!

Il faudra démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : T^n=MN^nM^{-1}.

Posté par
Yellowstonere : Exercice Matrice et système 26-10-15 à 21:19

Bonsoir, merci pour ton aide !
Du coup pour 2.c. je ne sais pas vraiment comment faire par récurrence, faut t-il calculer MN^nM^-1 sachant que T^2 est égal à (-1/2 3/2
-3/4 7/4) ?  

Posté par
fenamat84re : Exercice Matrice et système 26-10-15 à 22:50

Soit (Pn) la proposition : "T^n = MN^nM^{-1}"
L'initialisation est facile :
n=0 : T^0=I_2 et MN^0M^{-1}=MI_2M^{-1}=MM^{-1}=I_2. Donc P0 est vraie.

Hérédité : Supposons que (Pn) est vraie, montrons que (Pn+1) est vraie :

T^n=MN^nM^{-1}
T^nT=MN^nM^{-1}T
T^{n+1}=MN^nM^{-1}MNM^{-1}=MN^{n+1}M^{-1}. car MM^{-1}=I2.

Donc (Pn+1) est vraie.
CQFD.

Posté par
Yellowstonere : Exercice Matrice et système 26-10-15 à 23:04

D'accord, donc pour récapituler,
N^n =
(1^n   0
0  1/2^n)

Et T^n =
(1^n   0
0  1^n) ? (car T^0 = I2?)

Posté par
fenamat84re : Exercice Matrice et système 26-10-15 à 23:34

Tu as la formule de T^n :
T^n = MN^nM^(-1).
Tu connais deja les 3 matrices M, N^N et M^(-1).
Tu n'as plus qu'a faire le produit des 3 matrices pour obtenir T^n.

Posté par
Yellowstonere : Exercice Matrice et système 27-10-15 à 09:47

Bonjour, désolé pour le retard,
Après avoir plusieurs fois recalculer pour être sûr je trouve T^n=
( 0          1^n
(-1/2)^n   (3/2)^n )

Posté par
fenamat84re : Exercice Matrice et système 27-10-15 à 10:20

Non, ce n'est pas ça.
On a :

T^n=MN^nM^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&(\frac{1}{2})^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}

T^n=\begin{pmatrix}1&2(\frac{1}{2})^n\\1&(\frac{1}{2})^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}

T^n=\begin{pmatrix}2(\frac{1}{2})^n-1&2-2(\frac{1}{2})^n\\(\frac{1}{2})^n-1&2-(\frac{1}{2})^n\end{pmatrix}

Revois comment calculer un produit de matrices, c'est important.

Posté par
fenamat84re : Exercice Matrice et système 27-10-15 à 10:23

D'ailleurs, pour te rendre compte que c'est bien la matrice T^n recherchée, remplaces n par 1 !!

Cela doit donner la matrice T définie lors de la question 2a.

Posté par
Yellowstonere : Exercice Matrice et système 27-10-15 à 10:50

Ah j'ai compris j'ai rajouté un ^n dans N^n ce qui a tout fossé, c'est bon maintenant
Du coup pour le d) pour calculer Ln il suffit de calculer T^n x L0
(sachant que L0 = 40000
                              60000) ?

Par contre je ne connais pas la méthode exacte pour multiplier une matrice carrée par une matrice ligne et comment après déduire Pn en fonction de n ?

Posté par
fenamat84re : Exercice Matrice et système 27-10-15 à 11:05

2d) Tout d'abord commences par remplacer Ln, T^n et L0 par leurs matrices respectives :

L_n=T^n*L_0

\begin{pmatrix}P_n\\P_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2(\frac{1}{2})^n-1&2-2(\frac{1}{2})^n\\(\frac{1}{2})^n-1&2-(\frac{1}{2})^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}40000\\60000\end{pmatrix}

Pour obtenir Pn, on ne prend en compte que la 1ère ligne de la matrice T^n :

Ainsi : P_n=40000(2(\frac{1}{2})^n-1)+60000(2-2(\frac{1}{2})^n)=...

Je te laisse terminer le calcul, je dois aller faire quelques courses, je serai de retour dans 1h.

Posté par
Yellowstonere : Exercice Matrice et système 27-10-15 à 11:26

Du coup on trouve pour Ln
( 2(1/2)^n-1 x 40 000 + 2-2(1/2)^n x 60 000 )
( (1/2)^n -1 x 40 000 + 2-(1/2)^n x 60 000 )
Et en simplifiant on a :
( 2(1/2)^n x -40 000 + 2-2(1/2)^n x 60 000 )
( (1/2)^n x -40 000 + 2-(1/2)^n x 60 000 )


Pour Pn si on prend que la 1ère ligne
Pn= 40000(2(1/2)^n -1) + 60000(2-2(1/2)^n) = 80000(1/2)^n - 40000 + 120000 - 120000(1/2)^n ?

Posté par
fenamat84re : Exercice Matrice et système 27-10-15 à 12:35

De retour des courses...
Reprenons :

2d) OK, très bien. Tu peux simplifier ton calcul cependant. Cela donne au final :

Pn = -40000(1/2)^n + 80000.

Les questions 3a et 3b ne sont pas compliquées une fois que tu as l'expression de Pn.

Posté par
Yellowstonere : Exercice Matrice et système 27-10-15 à 12:58

Ok parfait!

Du coup pour 3.a. Est ce que l'on a :

Pn= -40000 1/2n+80000 = 0
=-40000 1/2^n=-80000     le tout fois -1

donc 40000 1/2^n=80000

Donc \lim_{n\to +\infty} P(n)=80000

Et ainsi on peut dire que l'évolution de la population de libellules au bout d'un certain nombre d'année stagne, à 80 000 ?

Posté par
fenamat84re : Exercice Matrice et système 27-10-15 à 13:09

Pn= -40000 (1/2)^n+80000 = 0

Pourquoi écris-tu "=0" ?? C'est totalement faux !!
Tu as : Pn= -40000 (1/2)^n+80000.
Puis tu passes directement au calcul de la limite en disant que comme \lim_{n \to +\infty}(\frac{1}{2})^n=0 (1/2 est bien compris entre -1 et 1), alors \lim_{n \to +\infty}-40000(\frac{1}{2})^n=0.

Et ainsi : \lim_{n \to +\infty}P_n=80000.

Quant à la question 3b), il faut juste réinterpréter le calcul précédent sous forme du phrase.
=> Au bout d'un certain nombre d'années, l'évolution de la population de libellules va stagner à 80000. Très bien.

Posté par
Yellowstonere : Exercice Matrice et système 27-10-15 à 13:15

D'accord du coup c'est tout bon merci beaucoup !
Bonne journée

Posté par
fenamat84re : Exercice Matrice et système 27-10-15 à 14:03

Bonne journée et bonne continuation.


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