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Exercice matrices
Bonjour à tous
Je bloque vraiment à un exercice sur les matrices alors merci d'avance pour votre aide.
Une matrice carrée A d'ordre n est trigonalisable s'il existe une matrice carrée P d'ordre n inversible et une matrice T triangulaire d'ordre n telles que A = PTP^-1
On considère les matrices A et P ci-dessous. On admet que la matrice P est inversible.
A=( 1 1 1 ) P=( 1 1 0 )
(-6 0 5 ) ( -1 5 0 )
(0 1 2) ( 1 1 1)
1) A l'aide de la calculatrice, calculer P^-1AP . Quelle est la forme de la matrice obtenue?
2) Que peut-on en déduire pour la matrice A?
Pour la suite, on posera T=P^-1AP.
3) Exprimer A² puis A^3 en fonction de P, T et P^-1
4) Déterminer l'expression de T^n en fonction de P, T et P^-1 .
5) On admet que T^n a pour expression: T^n = ( 1 6n 3n(n-1 )
( 0 1 n )
( 0 0 1 )
Déterminer les coefficients de A^n en fonction de n .
Pas de problème pour les 2 premières questions, mais c'est pour les suivantes que je n'y arrive pas 
Merci d'avance.
tu supposes A^n =PT^nP^(-1)
la propriété est vraie pour n=1,2,3
on supposes qu'elle est vaie pour n et on démontre qu'elle est vraie pour n+1
pour cela tu calcules A^(n+1)=A^nA
Je trouve An+1 = PTn+1P-1 donc c'est bon ! merci beaucoup
Mais pour la question 5 comment je fais pour déterminer les coefficients de A^n en fonction de n ?
donc je devrais faire P*Tn*P-1 mais je sais pas comment calculer ça... il faut le faire à la calculatrice ?
Je viens d'essayer de le faire à la main, je trouve pas du tout le bon résultat, je ne vois pas ou est le probleme
tu dois calculer
PTnP-1
P et Tn sont dans le texte
pour P-1je trouve
commence par calculer PTn je vérifierai avec mon calcul
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