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Exercice mélangeant les espaces vectoriels et polynômes
Bonjour,
Voilà j'ai un exercice de DM à faire mais je ne comprend pas tout :
Soit n un entier naturel non nul. On note E2n-1 l'ensemble des fonctions polynomiales réelles de degré inférieur ou égal à 2n-1. On considère n nombres réels x1, x2,..., xn distincts deux à deux, et l'application
: E2n-1 
2n
P
(P(x1),P(x2),...,P(xn),P'(x1),P'(x2),...,P'(xn))
1) Montrer que est linéaire.
2) Montrer que est injective.
3) Soient (yi)1
in et (zi)1in deux familles de nombres réels. Montrer qu'il existe une et une seule fonction polynômiale P
E2n-1 telle que, pour tout i[[1;n]], P(xi) = yi et P'(xi) = zi
C'est tout pour les questions. J'ai donc essayé tout naturellement de faire la première question mais tout de suite je bloque. Application linéraire, ça veut bien dire que si on multiplie le x par un scalaire, on peut sortir le scalaire c'est ça non? Eh bah je vois vraiment pas comment pourrait être linéaire 
. Du coup j'ai essayé injective mais j'ai jamais été fort pour prouver qu'une application était injective
Au final je suis totallement coincé... Help siou plait...
Bonsoir!
Oui, application lineaire, ca veut dire que si on multiplie le x par un scalaire, on peut sortir le scalaire (enfin c'est pas tres rigoureux comme formulation, mais c'est a peu pres ca).
Sauf que x represente un vecteur de l'espace de depart...
ici, l'espace de depart c'est l'ensemble des polynomes de degre inferieur ou egal a 2n-1. On oublie x, et on prend des P a la place. Donc on s'interesse a phi(a.P), avec a un scalaire, et P un polynome.
OK?
Tu essaies avec ca?
A+
biondo
ok merci je reviendrai demain pour vous faire part de mes résultats parce que il est tard et je suis vachement crevé
Alors voilà :
(aP)=((a.P)(x1),(a.P)(x2),...,(a.P)(xn),(a.P)'(x1),(a.P)'(x2),...,(a.P)'(xn))
=(a*P(x1),a*P(x2),...,a*P(xn),a*P'(x1),a*P'(x2),...,a*P'(xn))
=a*(P(x1),P(x2),...P(xn),P'(x1),P'(x2),...,P'(xn))
Mais je trouve ça trop simpliste... N'aurais-je pas oublier de dire quelque chose??
Ensuite :
(P1+P2)=((P1+P2)(x1),(P1+P2)(x2),...,(P1+P2)(xn),(P1+P2)'(x1),(P1+P2)'(x2),...,(P1+P2)'(xn))
=(P1(x1)+P2(x1),P1(x2)+P2(x2),...,P1(xn)+P2(xn),P'1(x1)+P'2(x1),P'1(x2)+P'2(x2),...,P'1(xn)+P'2(xn))
=(P1(x1),P1(x2),...,P1(xn),P'1(x1),P'1(x2),...,P'1(xn)) + (P2(x1),P2(x2),...,P2(xn),P'2(x1),P'2(x2),...,P'2(xn))
=(P1)+(P2)
Donc serait linéaire... Mais j'ai toujours cette impression d'avoir oublié une justification, quelque chose qui nous dit que l'on peut effectuer ces opérations....
Moi ca me paraît bon...
On peut justifier les opérations en invoquant la structure de R-espace vectoriel de R^2n, si on veut vraiment enfoncer le clou. Ca autorise les operations que tu fais sur le second membre...
A+
biondo
Ok merci. Connaissant ma prof de maths il vaut mieux que je le dise
Par contre comment puis-je faire pour montrer l'injectivité?
Pour montrer qu'une application lineaire est injective, on montre que son noyau est reduit au vecteur nul.
Autrement dit, on cherche les polynomes P tels que phi(P) = (0,0...,0) (il y en a 2n).
Donc P(x1) = P'(x1) = 0, et x1 est racine double
idem avec x2, x3 etc...
Donc x1, x2...xn sont tous racines doubles. Comme ils sont distinct, on a trouve 2n racines du polynome P (en comptant les ordres de multpilicte). Mais P est de degre 2n-1 au plus, il a donc au plus 2n-1 racines si il n'est pas nul... C'est donc le polynome nul.
Et voila.
biondo
Ouah!! J'en demandai pas tant.
Et sans vouloir avoir l'air exigeant, au moins une piste pour la dernière question SVP.
En tout cas merci BEAUCOUP!!
Pour la derniere, je ferais un petit coup de theoreme du rang pour trouver la dimension de l'espace image de E2n-1 par phi...
Et...de rien!
biondo
Euh... on a pas vu le théorème du rang
kaiser, pour 2n je veux bien de dim 2n mais je vois pas trop comment pour E2n-1. Enfin... c'est peut être vrai et c'est moi qui me goure totallement..
Tu vois bien que (1,X,...,X2n-1) est une base de E2n-1. Cette famille contient bien 2n vecteurs. D'où E2n-1 est de dimension 2n.
Vu comme ça, tout de suite ça calme
bah euh non je vois pas trop... déjà comme je l'ai dit théorème du rang... c'est quoi?
Le théorème du rang dont t'a parlé biondo est celui-ci.
Soit f une application linéaire de E dans F (E et F ev de dimension finie avec dim(E)=p).
Alors dim(Kerf)+rang(f)=p.
Vi mais je sais pas ce qu'est un rang On l'a pas vu...
Mais ici on utilise autre chose.
est une application linéaire injective entre 2 espaces vectoriels de même dimension. Cette application est donc automatiquement surjective.
injective et surjective donc bijective. Ok... mais qu'une application soit bijective ne nous dit pas si c'est l'unique.
Qu'est ce que je raconte moi : le fait que soit bijective montre qu'à tout élément de 2n, il fait correspondre un unique antécédent dans E2n-1 donc il existe bien une unique solution. C'est ça ou j'ai oublié des choses?
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