Bonjour à vous j'ai un exercice de mon DM pour lequel je bloque, ceci est un exercice melant algorithmique et les suite. Merci de votre aide.
Voici l'enoncé :
On donne l'algorithme suivant obtenu avec « Algobox »
Bonjour,
voir
Installer algobox et faites tourner le Prg
[lien]
1. Quel valeur contient la mémoire f pour n=2 ? n=3 ? et n=4 ?
f=n!
1! = 1
n=2 f= 2! = 1 × 2 = 2
n=3 f= 3! = 1 × 2 × 3 = 6
n=4 f= 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
...
n=10 f= 10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 = 3 628 800
2. Quelle valeur de u donne l'algorithme pour n = 3 ?
Ma reponse : Environ 2.67 oui 2,666...
U3=1+1/1+1/2+1/6=(6+6+3+1)/6=8/3
4) oui et limite = e1 sur une calculatrice ou inv ln sur la calculatrice windows
2,7182818284590452353602874713527...
5. On admet que la suite (Un) est definie par :
Un = 1 + 1/1! + 1 / 2! + 1/ 3! + … + 1/n!
a. Montrer que (Un) est croissante.
Un+1-Un=1/(n+1)!>0
b comme ... et si k>2 et (k-1)!>2k-1 alors k*(k-1)!>2*(k-1)!>2*2k-1
donc...
c voir
b et c => d
Bonsoir, pour les 4 premières question j'y ais retravaillé ce matin et je suis retombé sur vos resultat. Pour la question 5.b. je n'ai pas tout compris, pourriez vous me detailler la demarche ? Merci d'avance.
Ps : Je vous remercie pour votre réponse !
Bonsoir, j'ai calculer K1 et j'obtiens :
K! >= 2^(k-1) Avec K = 1 :
1! >= 2^(1-1)
Soit : 1 >= 2^0 Soit 1>=1.
Cependant je bloque par la suite car je tombe sur :
K+1! >= 2^(k+1-1)
Soit 1*2*3 ... * (k-1)k * (k+1)(k+2) >= K^k
Me suis-je trompé, car là je n'arrive plus à progresser dans le calcul.
Raisonnement par récurrence:
Il faut démontrer la propriété P: k
* , k!
2(k-1)
initialisation:
K! >= 2^(k-1) Avec K = 1 :
1! >= 2^(1-1)
Soit : 1 >= 2^0 Soit 1>=1.
Hérédité:
Si elle vraie pour p il faut montrer qu'elle est vraie pour p+1
On suppose que
p
* , p!
2(p-1)
donc p1 et p!
2p-1
à partir de p1
(p+1)
2, on multiplie de chaque coté par un nombre positif : p!
donc...
(p+1)*p!2*p!
(p+1)!=p*(p-1)!2*p!
d'après l'hypothèse de récurrence on a:
p!2p-1
2*p!
2*2p-1=2p (car 2>0)
donc
(p+1)!=p*(p-1)!>2*p!=2*p!2*2p-1=2p
(p+1)!2p
Donc la propriété est donc héréditaire pour k1
Comme elle est vraie pour k=1, et héréditaire pour k1
alors elle vraie pour tout k
*
Ah oui, merci bien Pour la c sur votre site il y a cette formule : S = 1 + x + x^2 + 2 + ... + x^n = 1-x^n+1 / 1-x Je dois utiliser celle-ci je suppose ?
oui,
voir aussi le cours de première:
Cours sur les suites numériques de première
III. Suites géométriques
3. Somme des n premiers termes
Le cas particulier du cours correspond à l'inverse des valeurs de mon exercice, c'est le fait que ce soit l'inverse qui modifie l'egalité, mais je n'arrive pas à le demontrer par le calcul ..
Ah ! Le (1/2)^n correspond au q^n de la formule, et nous avons egalement le 1 - ...
Donc 1-(1/2)^n => 1-q^n
(1 * (1-(1/2)^n))/1-(1/2)
= 1 - (1/2)^n / 1-(1/2) ..
= 2 * (1 - (1/2)^n / 1-(1/2))
= 2-1^n / -1
= 2 * (1-1^n) .. J'ai du faire une erreur une fois de plus mais je ne vois pas où .. ^^'
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