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Exercice melant Suite et Algorithme

Posté par
Gohan
16-09-12 à 13:12

Bonjour à vous j'ai un exercice de mon DM pour lequel je bloque, ceci est un exercice melant algorithmique et les suite. Merci de votre aide.
Voici l'enoncé :
On donne l'algorithme suivant obtenu avec « Algobox »

Citation :

1   VARIABLES
2     u EST_DU_TYPE NOMBRE
3     n EST_DU_TYPE NOMBRE
4     i EST_DU_TYPE NOMBRE
5     f EST_DU_TYPE NOMBRE
6     p EST_DU_TYPE NOMBRE
7   DEBUT_ALGORITHME
8     u PREND_LA_VALEUR 1
9     AFFICHER "Indice voulu ?"
10    LIRE n
11    AFFICHER n
12    POUR i ALLANT_DE 1 A n
13      DEBUT_POUR
14      f PREND_LA_VALEUR 1
15      POUR p ALLANT_DE 1 A i
16        DEBUT_POUR
17        f PREND_LA_VALEUR f*p
18        FIN_POUR
19      u PREND_LA_VALEUR u+1/f
20      FIN_POUR
21    AFFICHER "le terme d'indice"
22    AFFICHER n
23    AFFICHER "vaut"
24    AFFICHER u
25  FIN_ALGORITHME


1. Quel valeur contient la mémoire f pour n=2 ? n=3 ? et n=4 ?
Mes réponses : Pour n=2 : 1.4 Pour n= 3 : 1.37 et Pour n=4 : 1.37
2. Quelle valeur de u donne l'algorithme pour n = 3 ?
Ma reponse : Environ 2.67
3. Donner la valeur exact du terme u3 de la suite (Un) définie par l'algorithme.
Je n'ai pas su repondre à cette question.
4. En utilisant l'algorithme peut on conjecturer des resultats sur les variations et la convergence de la suite (Un) ? Si oui, lesquels ?
Ma reponse : Oui, la suite est croissante et converge vers 2.718

Ensuite je suis completement bloqué dans l'exercice :
5. On admet que la suite (Un) est definie par :
Un = 1 + 1/1! + 1 / 2! + 1/ 3! + … + 1/n!
a. Montrer que (Un) est croissante.
b. Montrer par recurence que pour tout K appartenant à IN* , K ! >= 2 ^(k-1)
c. Demontrer que :
1/1+1/ 2 + 1 / 2^2 + 1/ 2^3 + … + 1/ 2^(n-1) = 2(1-(1/2)^n)
d. En deduire que la suite (Un) est majorée par 3.


Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Chatof
re : Exercice melant Suite et Algorithme 17-09-12 à 09:02

Bonjour,
voir

Installer algobox et faites tourner le Prg
[lien]

1. Quel valeur contient la mémoire f pour n=2 ? n=3 ? et n=4 ?
f=n!



          1! = 1
n=2  f=  2! = 1 × 2 = 2
n=3  f=  3! = 1 × 2 × 3 = 6
n=4  f=  4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
    ...
n=10 f= 10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 = 3 628 800


2. Quelle valeur de u donne l'algorithme pour n = 3 ?
Ma reponse : Environ 2.67 oui 2,666...
U3=1+1/1+1/2+1/6=(6+6+3+1)/6=8/3

4) oui et limite = e1 sur une calculatrice ou inv ln sur la calculatrice windows
2,7182818284590452353602874713527...

5. On admet que la suite (Un) est definie par :
Un = 1 + 1/1! + 1 / 2! + 1/ 3! + … + 1/n!
a. Montrer que (Un) est croissante.
Un+1-Un=1/(n+1)!>0

b comme  ... et si k>2  et (k-1)!>2k-1 alors  k*(k-1)!>2*(k-1)!>2*2k-1
donc...

c voir

b et c => d

Posté par
Gohan
re : Exercice melant Suite et Algorithme 17-09-12 à 18:56

Bonsoir, pour les 4 premières question j'y ais retravaillé ce matin et je suis retombé sur vos resultat. Pour la question 5.b. je n'ai pas tout compris, pourriez vous me detailler la demarche ? Merci d'avance.

Ps : Je vous remercie pour votre réponse !

Posté par
Chatof
re : Exercice melant Suite et Algorithme 17-09-12 à 19:13

Citation :
Pour la question 5.b. je n'ai pas tout compris, pourriez vous me détailler la démarche ? Merci d'avance.

Montrer par récurrence que pour tout  k * , k! 2(k-1)
Raisonnement par récurrence:
Il faut démontrer la propriété P: k * , k! 2(k-1)

initialisation:
Est-elle vraie pour k=1 ?

Hérédité:
Si elle vraie pour k il faut montrer qu'elle est vraie pour k+1

Posté par
Gohan
re : Exercice melant Suite et Algorithme 18-09-12 à 19:03

Bonsoir, j'ai calculer K1 et j'obtiens :

K! >= 2^(k-1) Avec K  = 1 :

1! >= 2^(1-1)

Soit : 1 >= 2^0 Soit 1>=1.

Cependant je bloque par la suite car je tombe sur :

K+1! >= 2^(k+1-1)

Soit 1*2*3 ... * (k-1)k * (k+1)(k+2) >= K^k

Me suis-je trompé, car là je n'arrive plus à progresser dans le calcul.

Posté par
Chatof
re : Exercice melant Suite et Algorithme 18-09-12 à 21:52



Raisonnement par récurrence:
Il faut démontrer la propriété P: k * , k! 2(k-1)

initialisation:
K! >= 2^(k-1) Avec K  = 1 :
1! >= 2^(1-1)
Soit : 1 >= 2^0 Soit 1>=1.


Hérédité:
Si elle vraie pour p il faut montrer qu'elle est vraie pour p+1
On suppose que
p * , p! 2(p-1)
donc p1 et   p!2p-1

à partir de p1 (p+1)2, on multiplie de chaque coté par un nombre positif : p!
donc...
(p+1)*p!2*p!
(p+1)!=p*(p-1)!2*p!
d'après l'hypothèse de récurrence on a:
p!2p-1 2*p!2*2p-1=2p  (car 2>0)

donc
(p+1)!=p*(p-1)!>2*p!=2*p!2*2p-1=2p
(p+1)!2p
Donc la propriété est donc héréditaire pour k1

Comme elle est vraie pour  k=1, et héréditaire pour k1
alors elle vraie pour tout  k *

Posté par
Gohan
re : Exercice melant Suite et Algorithme 18-09-12 à 22:06

Ah oui, merci bien Pour la c sur votre site il y a cette formule : S = 1 + x + x^2 + 2 + ... + x^n = 1-x^n+1 / 1-x Je dois utiliser celle-ci je suppose ?

Posté par
Chatof
re : Exercice melant Suite et Algorithme 18-09-12 à 22:20

oui,
voir aussi le cours de première:
Cours sur les suites numériques de première
III. Suites géométriques
3. Somme des n premiers termes

Posté par
Gohan
re : Exercice melant Suite et Algorithme 18-09-12 à 23:21

Le cas particulier du cours correspond à l'inverse des valeurs de mon exercice, c'est le fait que ce soit l'inverse qui modifie l'egalité, mais je n'arrive pas à le demontrer par le calcul ..

Posté par
Chatof
re : Exercice melant Suite et Algorithme 18-09-12 à 23:46

Mais non!

c. Demontrer que :
1/1+1/ 2 + 1 / 2^2 + 1/ 2^3 + … + 1/ 2^(n-1) = 2(1-(1/2)^n)
U_0=1
 \\ U_1=(\frac{1}{2})^1
 \\ U_2=(\frac{1}{2})^2
 \\ U_3=(\frac{1}{2})^3
 \\ ...
 \\ U_k=(\frac{1}{2})^k
 \\ ...
 \\ U_{n-1}=(\frac{1}{2})^{n-1}
 \\ 
 \\ donc
 \\ \sum_{k=1}^{n-1} (\frac{1}{2})^k =...
 \\

Posté par
Gohan
re : Exercice melant Suite et Algorithme 19-09-12 à 00:23

Ah ! Le (1/2)^n correspond au q^n de la formule, et nous avons egalement le 1 - ...

Donc 1-(1/2)^n => 1-q^n

(1 * (1-(1/2)^n))/1-(1/2)

= 1 - (1/2)^n / 1-(1/2) ..

= 2 * (1 - (1/2)^n / 1-(1/2))

= 2-1^n / -1

= 2 * (1-1^n) .. J'ai du faire une erreur une fois de plus mais je ne vois pas où .. ^^'

Posté par
Gohan
re : Exercice melant Suite et Algorithme 19-09-12 à 00:37

Désolé du double post mais en fait j'ai trouvé !

Merci beaucoup de votre aide !

Posté par
Chatof
re : Exercice melant Suite et Algorithme 19-09-12 à 00:52


 \\ k!\geq 2^{k-1}> 0 \Rightarrow  \frac{1}{k!}\leq \frac{1}{2^{k-1}} \Rightarrow\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!} \leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}=\frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{\frac{1}{2}}=2-(\frac{1}{2})^{n-1}< 2 
 \\ donc
 \\ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!} \leq 2
 \\
Un = 1 +( \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}
 \\  + ... + \frac{1}{n!})=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!} \leq 2+1



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