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Exercice niveau entrée TS

Posté par
marion7803 03-09-17 à 09:36

Bonjour j'entre en TS dans un lycée parisien et mon professeur nous a donné quelques exercices pour préparer la rentrée et être au top, je bloque néanmoins sur un exo, voici l'énoncé:

n2, x appartenant à -, gn(x)= (exp(x)/n) - x -1

a) Quelles sont les variations de gn ?

b) Montrer qu'il existe un unique réel inférieur ou égal à 0 que l'on notera Vn tel que : exp(Vn)/n =  Vn + 1
   Comparer ensuite Vn et -1

c) Ensuite, étudier la monotonie de la suite (Vn) pour tout n 2.    Montrer ensuite que cette suite converge puis préciser sa limite que l'on notera L.



Mes réponses et pistes:
a) j'ai réussi à montrer que la fonction est dérivable puis en dérivant je trouve que la fonction est décroissante sur - (le résultat semble bon car concorde avec la question qui suit)

b) j'utilise la stricte décroissance de la question a), je fais la limite en - et 0 pour montrer que la fonction = 0. Puis je remplace par le x par Vn car ils appartiennent tout deux à -
je bloque ensuite sur la comparaison entre Vn et -1, je ne sais pas quoi faire ni quoi dire

c) là je n'ai aucune idée de quoi faire

pouvez-vous m'aider svp ? ça m'aiderait grandement

Merci d'avance

PS: nous sommes ici dans _ si ce quej'ai écrit n'est pas assez visible

Posté par
flightre : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 10:05

salut

sauf erreur pour cet exo on cherche a déterminer les points d'intersections des réseaux de courbes notés gn(x) avec (O,x)  ( la dessous se cache la methode de newton) ...apres je peux me tromper
dans l'idée , on part d'un point xo de (O,x) tel que f(xo) soit dans le domaine de definition de gn(x) et on donne la premiere tangente à gn(x) en xo
gn(x) - gn(xo) = gn'(xo).(x-xo)  --> cette droite coupe O,x en x1 = -gn(xo)/gn'(xo) + xo
ensuite en x1 on recalcul une tangente à gn(x)  soit
gn(x1) - gn(x1) = gn'(x1).(x-x1)  --> cette droite coupe O,x en x2 = -gn(x1)/gn'(x1) + x1
ensuite en x2 on recalcul une tangente à gn(x)  soit
gn(x2) - gn(x2) = gn'(x2).(x-x2)  --> cette droite coupe O,x en x3 = -gn(x2)/gn'(x2) + x2
ect...  et les tangentes ainsi obtenues suivent le profil de gn(x) jusqu'au point d'intersection de gn(x )  avec O,x ..

plus generalement on  a     Xk+1 = - g(Xk)/gn'(Xk) + Xk  

Posté par
marion7803re : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 10:13

Bonjour,

alors pour être honnête je n'ai rien compris à ce que tu as écris je pense que c'est beaucoup plus simple
pouvez vous m'aider à comparer Vn et -1 svp ?

Posté par
flightre : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 10:13

et cette suite converge vers ue limite  L  si L = f(L)

soit L = -(e^L/n - L- 1)/(e^L/n - 1)  + L

il reste  (e^L)/n  = L + 1      ce qui doit rejoindre l'idée de l'exo ou on pose  

exp(Vn)/n =  Vn + 1  pour lequel on demande de determiner la limite de convergence


..à verifier  par plus expert

Posté par
cocolaricottere : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 10:16

Bonjour

C'est à nous de deviner la définition de la suite (Vn)

Posté par
marion7803re : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 10:19

je viens de réussir à montrer que gn est décroissante, et grâce à une suite de calculs j'ai réussi à démontrer que (Vn) est décroissante (question c)

je bloque sur la question où il faut comparer Vn et -1 ...

Posté par
cocolaricottere : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 12:11

Sans réponse de ta part je comprends que c'est bien à nous de deviner

Posté par
lakere : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 12:11

Bonjour,

g_n(-1)=\dfrac{1}{ne}>0

Donc g_n(-1)>g_n(v_n)

d' où  -1<v_n par stricte décroissance de g_n sur \mathbb{R}^-

Posté par
cocolaricottere : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 12:13

Avec Vn défini comment ?

Posté par
marion7803re : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 12:14

(Vn) n'est pas donné dans l'exercice mais on peut quand même retrouver sa monotonie en utilisant les variations de la fonction gn (long à détailler)

Posté par
cocolaricottere : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 12:17

??????

La suite à étudier n'est pas définie ni par son premier terme ni par récurrence du terme de rang n+1 en fonction de celui de rang n

Pas de définition = pas de problème = pas de solution

Posté par
marion7803re : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 12:17

lake @ 03-09-2017 à 12:11

Bonjour,

g_n(-1)=\dfrac{1}{ne}>0

Donc g_n(-1)>g_n(v_n)

d' où  -1<v_n par stricte décroissance de g_n sur \mathbb{R}^-


Merci beaucoup lake, un vrai champion
j'ai réussi à montrer que la suite converge (minorée par -1 et décroissante) mais je n'arrive pas à trouver la limite L, comment faire s'il te plaît ?

Posté par
marion7803re : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 12:18

cocolaricotte @ 03-09-2017 à 12:17

??????

La suite à étudier n'est pas définie ni par son premier terme ni par récurrence du terme de rang n+1 en fonction de celui de rang n

Pas de définition = pas de problème = pas de solution

on ne cherche pas à étudier le rang de Vn et de ses termes, avec la question 1 et 2 on trouve facilement sa monotonie

Posté par
lakere : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 12:18

Il faut lire:

Citation :
b) Montrer qu'il existe un unique réel inférieur ou égal à 0 que l'on notera Vn tel que : exp(Vn)/n =  Vn + 1


Posté par
lakere : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 12:23

On a g_n(v_n)=0

Autrement dit:

  v_n=\dfrac{1}{n}\,e^{v_n}-1

On passe à la limite sachant que (v_n) tend vers une limite finie \ell:

  \lim\limits_{n\to +\infty}v_n=-1

Posté par
cocolaricottere : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 13:24

En effet j'ai très mal lu le sujet. Mais il semble que je ne sois pas la seule.

Posté par
marion7803re : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 13:39

lake @ 03-09-2017 à 12:23

On a g_n(v_n)=0

Autrement dit:

  v_n=\dfrac{1}{n}\,e^{v_n}-1

On passe à la limite sachant que (v_n) tend vers une limite finie \ell:

  \lim\limits_{n\to +\infty}v_n=-1


Bien joué, tu me sauves la vie

Posté par
Yzzre : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 13:39

Salut (je passais par hasard...   )

Pour la comparaison de Vn et -1 :
On a   Vn + 1 = exp(Vn)/n  , qui est strictement positif.
Donc Vn > -1

Posté par
lakere : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 13:46

Bonjour Yzz,

Effectivement, c' est direct

Posté par
marion7803re : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 13:46

lake j'ai encore une question, comment tu résous l'égalité Vn=(1/n)*exp(Vn)-1 ? Tu trouves -1 mais je ne sais pas comment

Posté par
lakere : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 13:48

Je ne résous rien du tout; je fais tendre n vers +\infty dans les deux membres

Posté par
marion7803re : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 13:49

lake @ 03-09-2017 à 13:48

Je ne résous rien du tout; je fais tendre n vers +\infty dans les deux membres

je viens de comprendre, je me sens un peu bête maintenant

Posté par
lakere : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 13:51

Regarde tout de même le message de Yzz au dessus ...

Posté par
Razesre : Exercice niveau entrée TS 03-09-17 à 19:53

Bonjour,

Si ça peut t'aider:

\begin{array}{|c||ccccccc||}\hline\hline x&-\infty&&-1&&v_n&&0\\\hline g_n'(x)=\frac{e^{x}}{n}-1& &&-&&&&\\\hline\hline &+\infty & &&&&&\\&&\searrow&\frac{1}{ne} &&&&\\g_n(x)=\frac{e^{x}}{n}-x-1& &&&\searrow&0&&\\&&&&&&\searrow&\\& &&&&&&-1\\\hline\end{array}

Posté par
flightre : Exercice niveau entrée TS 04-09-17 à 09:27

re...

une idée peut etre mais pas forcement utile avec tout ce qui a été dit

si on utilise la dichotomie en ecrivant que  gn(0)=1/n - 1  < 0  car n 2.
et d'autre part gn(-1) = 1/n.e >0

il existe donc un V <0  se trouvant sur O,x et compris entre 0 et -1 tel que gn(V)= 0

Posté par
Razesre : Exercice niveau entrée TS 04-09-17 à 12:57

Bonjour,

Désolé, j'avais oublié \dfrac{1}{n} dans g_n(0) du tableau de variation.

\begin{array}{|c||ccccccc||}\hline\hline x&-\infty&&-1&&v_n&&0\\\hline g_n'(x)=\frac{e^{x}}{n}-1& &&-&&&&\\\hline\hline &+\infty & &&&&&\\&&\searrow&\frac{1}{ne} &&&&\\g_n(x)=\frac{e^{x}}{n}-x-1& &&&\searrow&0&&\\&&&&&&\searrow&\\& &&&&&&\frac{1}{n}-1\\\hline\end{array}

\forall n\geqslant 2, \forall x\in\mathbb{R},g_n(x)=\dfrac{e^{x}}{n}-x-1; g_n(-1)=\dfrac{1}{ne}> 0  et  g_n(0)=\dfrac{1}{n}-1< 0

Donc : \forall x\in[-1, 0] \Rightarrow g_n(x)\in\left [\dfrac{1}{n}-1,\dfrac{1}{ne}\right ], car g_n est continue et décroissante.

0\in\left [\dfrac{1}{n}-1,\dfrac{1}{ne}\right ], d'après le théorème de la valeur intermédiaire: \exists V_n\in\left [ -1,0 \right ]\mid g_n(V_n)=0, de V_n est  unique car g_n est continue et décroissante.

Posté par
Razesre : Exercice niveau entrée TS 04-09-17 à 13:01

g_n(V_n)=0\Leftrightarrow \dfrac{e^{V_n}}{n}-V_n-1=0\Leftrightarrow \dfrac{e^{V_n}}{n}=V_n+1


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