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Exercice partie entière

Posté par
Jules75 13-12-18 à 22:49

Bonsoir à tous,
Je bloque depuis plusieurs heures sur deux questions d'un exercice sur les parties entières :
f           R   --->  R
              x   --->   [2x]/(2[x]-1)    où [] signifie partie entière

5.Montrer que pour tout x réel, [2x] = 2[x] ou [2x] = 2[x]+1

6. Posons {2n/(2n-1)| n € Z} U {(2n+1)/(2n-1)|n € Z}

Merci pour votre réponse

Posté par
jsvdbre : Exercice partie entière 13-12-18 à 22:55

Bonjour Jules75.

5. Considère les cas : \red n \leq x < n+1/2  et  \blue n+1/2 \leq x <n+1

Posté par
Jules75re : Exercice partie entière 13-12-18 à 23:02

Merci de me repondre (encore)...
Et donc par définition ça nous donne : [x]《x < [x]+ 1/2 et
[x]+1/2《x <[x]+1

Posté par
jsvdbre : Exercice partie entière 13-12-18 à 23:05

Jules75 @ 13-12-2018 à 23:02

Et donc par définition ça nous donne : [x]\leq x < [x]+ 1/2 ou  [x]+1/2\leq x <[x]+1

oui, donc pour 2x ça donne ... ?

Posté par
Jules75re : Exercice partie entière 13-12-18 à 23:09

2[x]《2x <2[x]+1 ou 2[x]+1《2x < 2[x]+2 c'est  bien ca ? Mais alors comment obtenir [2x] ?

Posté par
Jules75re : Exercice partie entière 13-12-18 à 23:11

Ah mince c'est plutôt,
[2x]《2x <[2x]+1/2 ou [2x]+1/2《2x < [2x]+1 ?

Posté par
jsvdbre : Exercice partie entière 13-12-18 à 23:19

Ou encore plutôt  :

de \red n \leq x < n+1/2  et  \blue n+1/2 \leq x <n+1, on tire :

\red 2n \leq 2x < 2n+1  et  \blue 2n+1 \leq 2x <2n+1+1

Qu'en conclus-tu pour [2x] ?

Posté par
Jules75re : Exercice partie entière 13-12-18 à 23:23

Ah d'accord, oui en effet c'est évident [2x]=2[x] ou [2x]=[2x]+1 ! Eurêka

Posté par
Jules75re : Exercice partie entière 13-12-18 à 23:23

Mais alors pour la 6 je n'ai même pas une petite idée...

Posté par
jsvdbre : Exercice partie entière 13-12-18 à 23:28

Je veux bien t'aider, mais visiblement, l'énoncé est incomplet

Posté par
Jules75re : Exercice partie entière 13-12-18 à 23:29

Ah mince oui ^^ prouver que f(R)=A

Posté par
jsvdbre : Exercice partie entière 13-12-18 à 23:32

Il me semble que, d'après la question 5, il y a une chose qu'il faut commencer par faire : changer le maquillage de f ...

Posté par
Jules75re : Exercice partie entière 13-12-18 à 23:34

La première partie correspond à f(n) et la seconde à f(n+1/2) ?

Posté par
Jules75re : Exercice partie entière 13-12-18 à 23:42

On peut remplacer dans la première 2n par [2x] et dans la seconde 2n+1 par [2x], c'est bien de cela dont vous parliez ?

Posté par
Jules75re : Exercice partie entière 13-12-18 à 23:48

Je vous remercie ! J'ai trouvé A = {[2x]/(2[x]-1)|x€R} mais comment dire que f(R)=A  ?

Posté par
jsvdbre : Exercice partie entière 14-12-18 à 00:01

Jules75 @ 13-12-2018 à 23:48

Je vous remercie ! J'ai trouvé A = {[2x]/(2[x]-1)|x?R} mais comment dire que f(R)=A  ?

Si tu écris que A = {[2x]/(2[x]-1)|x?R}, alors, par définition, tu écris précisément que f(\R) = A. Mais tu ne peux pas transformer A de la sorte car A est à priori dénombrable et tu le transformes en un ensemble à priori non dénombrable. Ça fait un peu "tour de passe-passe".

Tu commences par montrer que f(\R) \subset A.
Et pour cela, tu prends un x \in \R et tu calcules f(x) = \frac{[2x]}{2[x]-1} = \begin{cases}&\cdots\\&\cdots \end{cases}   en fonction de où se trouve x dans un intervalle de type [n;n+1[.
Et tu relieras ces n à A.

Posté par
Jules75re : Exercice partie entière 14-12-18 à 00:06

Ah d'accord, oui en effet, c'est très clair !
Je vous remercie pour votre rapidité ,votre patience et votre gentillesse et d'ailleurs pour le temps que vous m'avez consacré. Je vous souhaite une bonne fin de soirée malgré l'heure avancée,...

Posté par
jsvdbre : Exercice partie entière 14-12-18 à 00:08

Merci à toi et bonne ... nuit

Posté par
jsvdbre : Exercice partie entière 14-12-18 à 09:53

A titre d'exercice tu peux chercher ce que vaut [3x], [4x] puis généraliser à [nx] où n est un entier quelconque.

Posté par
carpediemre : Exercice partie entière 14-12-18 à 17:07

salut

il serait tout de même intéressant de connaitre les questions précédents les questions 5/ et 6/ ... pour savoir de quoi il retourne exactement ...


d'autre part il n'est pas nécessaire de travailler avec des fractions :

n \le x < n + 1 \iff 2n \le 2x < 2n + 2 \iff 2n \le E(2x) \le 2n + 1 \iff E(2x) \in \{2n, 2n + 1\}

puisque les seuls entiers de l'intervalle [2n, 2n + 2[ sont 2n et 2n + 1 ...

Posté par
Jules75re : Exercice partie entière 14-12-18 à 19:37

Merci pour votre reponse carpe diem mais j'ai rendu mon exercice aujourd'hui, donc c'est trop tard pour apporter des modifications

Posté par
lafol Moderateurre : Exercice partie entière 14-12-18 à 20:34

Bonjour
la prochaine fois, donne quand même les questions que tu as déjà traitées et les réponses que tu as apportées : c'est important pour comprendre la philosophie d'un problème, et éviter de te montrer comment sortir la réponse "ex nihilo" alors que éventuellement les quatre autres questions avaient complètement préparé la réponse à la cinquième ...


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