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Exercice PGCD Terminale
Bonjour 
j'aurais besoin d'aide pour un exercice sur le PGCD ...
Voici l'énoncé :
1) Soient a et b deux entiers naturels 1ers entre eux
Démontrer que pour tout entier naturel n, on a PGCD(a ;b)=PGCD(a^n;b^n)
2) On cherche à déterminer les entiers naturels x et y tel que : PGCD (x ; y )=1 et
Pour cela , on appelle d = PGCD(x²−xy +y² ; x+y )
a) Démontrer que d | 3PGCD(x²;y²)
b) En déduire les valeurs possibles de d
c) En raisonnant alors par disjonction de cas, déterminer x et y
Pour la 1) je pensais utiliser la récurrence, pas de problème pour l'initialisation mais je n'arrive pas à prouver l'hérédité
Pour la 2)b) pas de problème, d'après la question 1) on a pgcd(x²;y²)= pgcd(x;y) = 1 donc d|3
et donc d = 1 ou 3
c) Pour la disjonction de cas, je suppose qu'il faut faire pour d=1 et d= 3, et qu'on va avoir un système à l'aide de mais après je n'arrive pas à démarrer car je ne vois pas comment faire le lien avec d ...
Est-ce que vous auriez quelques indications à me donner s'il vous plait ? Merci d'avance
Salut,
Première question.
Tu pourrais commencer par montrer que PGCD(a,b) est bien un diviseur de a^n et de b^n.
Puis après tu pourrais montrer que si il y en a d'autres communs à a^n et b^n alors ils sont plus petits.
Pour PGCD(a,b) est bien un diviseur de a^n et de b^n ok , mais après je ne vois pas trop comment faire
Il faut surement exploiter le fait que a a et b sont 1ers entre eux mais je n'arrive pas à montrer que s'il y en a d'autres communs à a^n et b^n alors ils sont plus petits
salut
d divise x² - xy + y² et x + y donc divise x² - xy + y² - (x + y)² = - 3xy
donc d divise 3pgcd(x, y) = 3pgcd(x², y²)
...
Merci , cependant je ne vois pas comment on passe de d|3xy à d|3pgcd(x;y) ? car dans l'autre sens cela me parait logique, mais dans ce sens là ?
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