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exercice polynomes
Bonjour, je suis en premiere année de prépa commerciale voie scientifique et j'ai besoin d'aide au sujet d'un exercice sur les polynomes. Comme je viens d'un bac ES, j'ai beaucoup de difficultés en maths. Quelqu'un peut m'aider? merci d'avance.
voici l'exercice :
On pose f(x)= 1/(x²-3x+5) où x est un réel.
f puissance(n) désigne la dérivée n-ième de f ; par convention, f°=f
1) Preciser le domaine de définition de f.
2) Déterminer les fonctions f' et f''.
3) Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un polynome Pn tel que :
pour tout x appartenant à un reel, f puissance(n)(x)= P indice n (x)/(x²-3x+5) puissance(n+1) (parrecurrence)
Exprimer P indice(n+1) en fonction de Pn et P'n
4) Preciser les expressions de P indice 0, P indice 1 et P indice 2.
5) Montrer que Pn est de degré au plus egal à n. (par récurrence)
je n'ai reussi aucune question je suis vraiment bloquée!
peut-être la premiere
Question 1)
Chercher le domaine de définition consiste à rechercher les valeurs "interdites".
Il faut donc commencer par chercher les solutions de x²-3x+5=0.
Comme le discriminant est négatif, il n'y a pas de solution.
Donc pas de valeur interdite.
Donc l'ensemble de définition est tout l'ensemble des réels...
question 2)
La dérivée de 1/u est -u'/u².
Donc, en posant u(x)=x²-3x+5, on a u'(x)=2x-3 donc f'(x)=...
d'accord c'est ce que je me disais aussi mais après je suis coincée pour faire f''
Donc f'(x)=
Cette fois il faut poser
On en déduit :
Il ne reste plus qu'à utiliser la formule qui donne la dérivée d'un quotient ... 
Merci beaucoup!!! ca m'aide vraiment mais après c'est le plus compliqué.
je voulais savoir pour le quotient la dérivée est : u'v-uv'/v²?
et pour la question 3 je ne sais pas comment demontrer par recurrence qu'il existe ce polynome...
La démonstration par récurrence se fait en 2 parties :
1) on démontre que la propriété est vraie pour n=0 ou 1
2) on démontre ensuite que, si elle est vraie pour un entier n alors elle l'est aussi pour l'entier suivant (n+1).
La première partie est déjà faite.
Pour la seconde, il faut partir d'un entier n tel que f(n)(x)=Pn(x)/(x²-3x+5)n+1 puis calculer f(n+1)(x) qui en est la dérivée...
ok mais je ne comprends pas a partir de calculer... qui en est la derivée
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