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Exercice probabilité et récurrence

Posté par
aziou456987 31-10-19 à 10:02

Bonjour à tous,
J'ai un devoir maison à rendre pour la rentrée mais je bloque sur une question de récurrence. Voici l'énoncé: montrer par récurrence que pour tout entier n:
Pn= (1/7)+((16/35)*0,65^n))
Sachant que :
Pn+1= 0,7*(Pn)+0,05(1-Pn)
J'ai démarré la récurrence et j'ai réussi à trouver le 1/7  mais après je bloque (ça fait 2 jours que je suis dessus).
Je vous remercie d'avance pour votre aide

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice probabilité et récurrence 31-10-19 à 10:23

Sans connaître P0, difficile...
Aurais-tu oublié de lire ceci ? Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci
Un extrait du point 3. :

Citation :
Vous devez RECOPIER L' ÉNONCÉ sur le forum (ne pas raconter l'énoncé, on recopie à partir du 1er mot jusqu'à au moins la question qui pose problème...)

Posté par
aziou456987re : Exercice probabilité et récurrence 31-10-19 à 10:52

Oui autant pour moi j'ai oublié de mettre Po=0,6 et pour l'énoncé je ne l'ai pas recopié en entier car il est très long et que c'est un exercice d'avantage sur les probabilités que sur la récurrence (l'énoncé ne sert donc pas vraiment pour résoudre la question) mais si vous voulez que je le recopie ce n'est pas un problème je peux le faire.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice probabilité et récurrence 31-10-19 à 11:15

Ça devrait aller comme ça.
Je conseille de transformer \; Pn+1= 0,7*(Pn)+0,05(1-Pn) \; :
Pn+1 = 0,05 + ... Pn .
L'hérédité sera plus facile après.

Pour indices et symboles comme :
Exercice probabilité et récurrence
Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.

Posté par
aziou456987re : Exercice probabilité et récurrence 31-10-19 à 12:56

Pn=1\div7+(16\div35)\times 0,65n
Pn+1=0,7\times Pn+0,05\times(1-Pn)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice probabilité et récurrence 31-10-19 à 14:05

Tu n'as pas complété

Citation :
Je conseille de transformer \; Pn+1= 0,7*(Pn)+0,05(1-Pn) \; :
Pn+1 = 0,05 + ... Pn .

Posté par
aziou456987re : Exercice probabilité et récurrence 31-10-19 à 17:30

Je suis désolé mais je n'ai pas bien compris vous voulez que je factorise par Pn ou que dans l'hypothèse de récurrence je remplace Pn par 1\div7+(16\div35)\times0,65<sup>n</sup>?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice probabilité et récurrence 31-10-19 à 17:40

Pour le moment, je voudrais que tu transforme \; 0,7*(Pn)+0,05(1-Pn) \; pour que \; Pn ne figure qu'une fois.
Tu saurais réduire \; 0,7x + 0,05(1-x) \; ?

Posté par
aziou456987re : Exercice probabilité et récurrence 31-10-19 à 17:50

Ah non si j'ai bien compris vous voules que je développe, ce qui donne:
Pn+1=0,7\times(\frac{1}{7}+\frac{16}{35}\times0,65^n)+0,05\times1-(0,05\times Pn)
Pn+1= 0,7\times \frac{1}{7}+(0,7\times( \frac{16}{35}\times 0,65^n)+0,05\times 1-(0,05\times (\frac{16}{35}\times 0,65^n)
Pn+1= \frac{1}{7}+0,7(\frac{16}{35}\times 0,65^n)- 0,05(\frac{16}{35}\times 0,65^n)
C'est à ce stade là que je suis rester bloqué durant mes recherches précédentes

Posté par
aziou456987re : Exercice probabilité et récurrence 31-10-19 à 17:55

J'ai fait une petite erreur de développement, le 1/7 s'obtient de la manière suivante: 0,7\times \frac{1}{7}+0,05\times (1-\frac{1}{7})=\frac{1}{7}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice probabilité et récurrence 31-10-19 à 17:59

Tu n'as toujours pas suivi mon conseil de 11h15, ni répondu à mes questions de 17h40.

Posté par
aziou456987re : Exercice probabilité et récurrence 31-10-19 à 19:47

0,7x+0,05(1-x)=0,7x+0,05-0,05x
=0,65x-0,05

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice probabilité et récurrence 31-10-19 à 20:42

Fais la même chose avec \; 0,7*(Pn)+0,05(1-Pn) .

Posté par
aziou456987re : Exercice probabilité et récurrence 31-10-19 à 21:05

On a donc:
0,7(Pn)+0,05(1-Pn)
= 0,65(Pn)+0,05
=0,65(\frac{1}{7}+\frac{16}{35}\times0,65^n)+0,05
=\frac{1}{7}+\frac{16}{35}\times0,65^n^+^1+0,05
=\frac{13}{140}+\frac{16}{35}\times0,65^n^+^1?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice probabilité et récurrence 31-10-19 à 21:56

Dans l'avant dernière ligne, ce n'est pas \; 1/7 \; mais \; 0,65/7 .
Et \; 0,65/7 + 0,05 = 1/7 .

Posté par
aziou456987re : Exercice probabilité et récurrence 01-11-19 à 22:41

C'est bon j'ai compris, ce n'était pas si dur que ça en réalité. Merci pour votre aide rapide et bienveillante.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice probabilité et récurrence 02-11-19 à 12:23

De rien. Contente que tu aies réalisé que ce n'était pas si dur que ça.
C'est comme ça qu'on progresse \;


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