Bonjour,

Pouvez-vous vérifier si tout est correct ? Merci !

  Lors de son séjour dans une très grande métropole, Marge doit suivre le boulevard prin- cipal, qui est jalonné de très nombreux feux tricolores. En considérant un feu orange comme un feu rouge où il faut s'arrêter, on considère, pour tout entier naturel n≥1, les événements suivants :
• E_n : « Marge est arrêtée par le ne feu », de probabilité notée pn = P(En).
• Ē_n, l'événement contraire.
La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou orange vaut 1/8.
Deux conditions sont supposées réalisées :
• si le ne feu tricolore est rouge ou orange alors la probabilité que le (n + 1)e feu le soit aussi vaut 1/16.
• si le ne feu tricolore est vert, alors la probabilité que le (n + 1)e feu soit rouge ou orange vaut 7/16.

Partie A :
1. On s'intéresse tout d'abord aux deux premiers feux tricolores du boulevard.

A)Calculer l'espérance mathématique de N.

2. On se place maintenant dans le cas général.
a) Donner les probabilités conditionnelles P_E[sub]n[/sub](E_n+1) et P_Ē[sub]n[/sub](E_n+1)

b) Montrer que, pour tout entier n≥1, P_n+1=-3/8 * P_n + 7/16

3) Soit la suite (U_n) de nombres réels définie pour tout entier naturel n≥1 par U_n=22P_n-7
A) Montrer que (U_n) est une suite géométrique et déterminer sa raison.

B) Exprimer U_n, puis P_n en fonction de n.

C) Déterminer la limite, si elle existe, de P_n, quand n tend vers +oo. Donner une interprétation de ce résultat.

Partie B)

PARTIE B :
Pendant 8 jours, pour aller découvrir la ville et la région, Marge a l'intention, chaque matin, de quitter son hôtel et donc d'emprunter ce long boulevard. On note X la va- riable aléatoire égale au nombre de jours où Marge sera arrêtée par le 1er feu.

1. Déterminer la loi de probabilité de X.

2. Calculer la probabilité que Marge ne s'arrête pas au 1er feu pendant les 8 jours.

3. En moyenne, combien de fois s'arrête t-on au 1er feu dans une telle situation?

Mes réponses :

Partie A)

1)A)E(X)=0*1/128+1*1/2+3*63/128=95/64≈1,48

2) a) P_En(E_n+1)=1/16
P_En(E_n+1)=7/16

b) P_n=P(E_n) donc P_n+1=P(E_n+1)
D'après la loi des probabilités totales : P(E_n+1)=P(E_n)*P_En(_En+1)+P(E_n)*P_En(E_n+1)=P_n*1/16 -P_n*7/16=1/16P_n -7/16P_n=-3/8 P_n pourquoi ne trouve je pas le bon résultat ?

3)a) Je trouve U_n+1= -3/8*U_n donc (U_n) est une géométrique de raison q=-3/8

b) U_n=U₁*q^n-1=-4,25*(-3/8)^n-1
Donc P_n=(U_n+7)/22=(-4,25*(-3/8)^n-1 +7)/22

c) q=-3/8 donc q<0 et donc (-4,25*(-3/8)n-1)/22 n'a pas de limite
Lim(7/22)=7/22≈0,32,
n->+oo
Donc lorsque le nombre de feux augmente, la probabilité que Marge soit arrêté par le nième feu est de P(E_n)≈0,32 ?

Partie B)

1) Une expérience à 2 issues : E :"le feu est rouge ou orange" et Ē :" le feu est vert" est répétée 8 fois de façon aléatoire. La variable aléatoire X=nombre de jours où Marge est arrêtée par le 1er feu suit la loi binomiale de paramètres B(8;1/8)
Je trouve P(X=8)≈5,96*10-8 ce qui me paraît être un résultat bizarre...

2) Une expérience à 2 issues : E :"le feu est rouge ou orange" et Ē :" le feu est vert" est répétée 8 fois de façon aléatoire. La variable aléatoire X=nombre de jours où Marge est arrêtée par le 1er feu suit la loi binomiale de paramètres B(8;7/8)
Ici je trouve P(X=8)≈0,34

3) E(X)=np=8*1/8=1 donc en moyenne, nous nous arrêtons 1 fois dans une telle situation.

Merci beaucoup !