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Exercice "Récurrence tardive"

Posté par
Jistsu 08-09-13 à 18:25

Bonjour, je bloque complètement sur un exercice, pourriez-vous m'aider svp ?


Récurrence tardive

Pour tout entier naturel n, on considère la proposition :

P_n : 2^n\ge(n+1)^2

1. Montrer que la propriété Pnest héréditaire à partir du rang 2.
2. Pour quelles valeurs de n cette propriété est-elle vraie ?


Voilà, dès le début je ne comprends pas : comment peut-on prouver qu'une proposition est vraie à partir d'un certain rang ? Car même si elle est fausse, j'ai toujours montré qu'une proposition était héréditaire tout court, pour tous les rangs et pas à partir d'un certain rang...

Merci

Posté par
Yotare : Exercice "Récurrence tardive" 08-09-13 à 18:33

Ca joue uniquement sur ton initialisation : tu commences ici par montrer que c'est vrai pour 2 ( et pas pour 0) et le reste est comme d'habitude

Posté par
Jistsure : Exercice "Récurrence tardive" 08-09-13 à 18:35

Le problème c'est que c'est faux à 0

2² = 4
(2+1)² = 9

Posté par
Jistsure : Exercice "Récurrence tardive" 08-09-13 à 18:36

Désolé pour le double post

Petite erreure :
c'est faux à 2 *

Posté par
Yotare : Exercice "Récurrence tardive" 08-09-13 à 18:42

Effectivement, je n'avais pas fait attention à ça.
Ceci dit, cela ne t'empeche pas de montrer qu'elle est héréditaire, si ?

Posté par
Jistsure : Exercice "Récurrence tardive" 08-09-13 à 19:05

Je n'y arrive pas, voici ce que je trouve :

2^n\ge(n+1)^2 \\ 2*2^n\ge2(n+1)^2 \\ 2^{n+1}\ge2*(n+1)^2 \\ 2^{n+1}\ge2*(n^2+2n+1) \\ 2^{n+1}\ge2n^2+4n+2 \\

Or normalement je devrais trouver ça non ?
2^{n+1}\ge(n+2)^2 \\ 2^{n+1} \ge n^2+4n+4

Posté par
Yotare : Exercice "Récurrence tardive" 08-09-13 à 19:10

Il te reste donc à vérifier que 2n²+4n+2 > n²+4n+4

Posté par
carpediemre : Exercice "Récurrence tardive" 08-09-13 à 19:11

salut

et alors ?

2n2 + 4n + 2 = (n + 2)2 + n2 - 2

donc quand est-ce que (n + 2)2 est > 2n2 + 4n + 2 ?

Posté par
carpediemre : Exercice "Récurrence tardive" 08-09-13 à 19:11

Yota :: il manque un "quand" .... à la place du "que" ....

Posté par
Jistsure : Exercice "Récurrence tardive" 08-09-13 à 19:16

Aaaaaaah et en faisant 2n²+4n+2 - (n²+4n+4) on trouve n²-2 donc 2n²+4n+2 \ge n²+4n+4 pour n\ge2 et la suite est bien héréditaire à partir de n=2 !!

J'ai compris, merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Exercice "Récurrence tardive" 08-09-13 à 19:19

de rien

Posté par
Jistsure : Exercice "Récurrence tardive" 08-09-13 à 20:12

J'ai juste une dernière question : comment résoudre cette inéquation svp :

2^n \ge (n+1)^2

Posté par
Yotare : Exercice "Récurrence tardive" 08-09-13 à 20:13

Tu sais que la propriété est héréditaire.. Il reste à trouver le premier rang à partir duquel c'est vrai

Posté par
Jistsure : Exercice "Récurrence tardive" 08-09-13 à 20:15

Ah oui, ok merci

Posté par
Adrien39re : Exercice "Récurrence tardive" 12-09-18 à 21:52

Bonjour,

Je suis bloquer au même endroit que l'auteur de ce post mais je ne comprends pas les réponses qui ont été apporté. Pouvez vous m'expliquer avec plus de détails ?

Jistsu @ 08-09-2013 à 19:05

Je n'y arrive pas, voici ce que je trouve :

2^n\ge(n+1)^2 \\ 2*2^n\ge2(n+1)^2 \\ 2^{n+1}\ge2*(n+1)^2 \\ 2^{n+1}\ge2*(n^2+2n+1) \\ 2^{n+1}\ge2n^2+4n+2 \\

Or normalement je devrais trouver ça non ?
2^{n+1}\ge(n+2)^2 \\ 2^{n+1} \ge n^2+4n+4


Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
carpediemre : Exercice "Récurrence tardive" 12-09-18 à 22:05

le pb c'est que l'inégalité n'est pas vrai pour tout n et il faut montrer non seulement l'hérédité mais aussi à partir de quand à lieu cette hérédité

Jistsu @ 08-09-2013 à 19:05

Je n'y arrive pas, voici ce que je trouve :

2^n\ge(n+1)^2 \\ 2*2^n\ge2(n+1)^2 \\ 2^{n+1}\ge2*(n+1)^2 \\ 2^{n+1}\ge2*(n^2+2n+1) \\ 2^{n+1}\ge2n^2+4n+2   $ \red on sait que $ \\

Or normalement je devrais trouver ça non ?
2^{n+1}\ge(n+2)^2       $ \red on veut que $ \\ 2^{n+1} \ge n^2+4n+4
donc
carpediem @ 08-09-2013 à 19:11


2n2 + 4n + 2 = (n + 2)2 + n2 - 2

donc quand est-ce que (n + 2)2 est > 2n2 + 4n + 2 ?

Posté par
carpediemre : Exercice "Récurrence tardive" 12-09-18 à 22:06

donc on résout l'inéquation : 2n^2 + 4n + 2 \ge (n + 2)^2 ...


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