il faut utiliser la fonction f(x)= racine (x+2)
cette fonction est croissante donc ta suite est monotone

Tu peux montrer par récurrence que

Merci ! Je me demandais justement si cette solution était bonne, c'est ce que j'ai mis sur ma copie, mais je me demandais dans ce cas l'intérêt d'avoir U₀

Je ne comprends pas ton explication kalimaths !

bonsoir

c'est exacte l'étude du signe de U(n+1)-Un peut t'aider à conclure

U(n+1)-Un=V(Un+2)-Un
         =(V(Un+2)-Un)(V(Un+2)+Un)/(V(Un+2)+Un)
         =(Un+2-Un²)/(V(Un+2)+Un)
         =(Un+1)(2-Un)/(V(Un+2)+Un)
U(n+1)=V(Un+2) donc Un>0 qq soit n donc V(Un+2)+Un>0 qq soit n
donc U(n+1)-Un est du signe de 2-Un

je pense que Un>2 que tu peux montrer par récurrence

Uo=5>2
suppose que Un>2
comme la fonction f: x-->V(x+2) est strictement croissante donc f(Un)>f(2)
f(2)=V(2+2)=2 et f(Un)=U(n+1) donc U(n+1)>2
donc on a montré par récurrence que Un>2
donc U(n+1)-Un<0 donc U est décroissante.

Autant pour moi, j'ai mal lu l'énoncé

Merci Watik !!! J'ai tout compris J'ai plus qu'à expliquer et reprendre en détail

Cependant je trouve que la preuve que la suite est toujours supérieure à 2 n'est pas convaincante. J'ai l'impression qu'elle ne dépend que de l'hypothèse que tu imposes : "suppose que Un > 2", dans ce cas il est logique que f(Un) > f(2), mais pourquoi ce ne serait pas "suppose que Un < 2", dans ce cas on trouverait f(Un) < f(2).

c'est une démonstration par récurrence que j'ai faite.
tu as oublié l'initialisation Uo=5>2
et c'est ce qui importe dans la démonstration

Le fait que Uo soit supérieur à 2, cela veut-il dire que tous les Un seront également supérieurs à 2 ? Je n'arrive pas trop à le comprendre :s

c'est le principe de la récurrence deux condition:

initialisation : Uo>2
héridité : Un>2 ==> U(n+1)>2

en gros l'héridité "propage" la condition initiale

N'y a-t-il pas une autre manière de le démontrer ? Car je n'ai jamais vu le principe de récurrence d'une telle manière, et j'ai du mal à le comprendre même après vos explications !