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Exercice spé maths , B^a=a^b .
Salut !
L'enoncé
Soit a-{1}. On cherche à déterminer un entier naturel b tel que a^b=b^a.
1.a. Prouver que a et b ont les mêmes diviseurs premiers.
b. Soit p un diviseur premier commun à a et b, X , Y et ses exposants dans les décompositions respectives de a et b en facteurs premiers. Démontrer que Xb=Ya.
c. Déduire de a. et b. que a est un mutiple de b et que si a=kb, alors b^{k-1}=k.
3. Démontrer que l'on a b^{n-1}>n pour tout n naturel n>2.
4. Conclure.
Je bloque sur la question C je sais pas quoi faire j'ai Biensur B divise Y*a mais a part si B et Y sont premiers entre eux je vois pas comment m'en sortir .
Merci d'avance .
Bonjour,
un copier-coller de symboles non copiables (parce que sont des images par exemple)
certainement : a
-{1}
copier-coller ça donne juste a-{1} puisque les symboles et ne sont pas du texte mais une image et ne peuvent se copier-coller directement.
par ailleurs cette phrase ne veut rient dire :
Soit p un diviseur premier commun à a et b, X , Y et ses exposants dans les décompositions respectives de a et b en facteurs premiers
c'est à dire :
Oui je m'excuse de la non clarté de l'enoncé , merci mathafou pour la précision .
A appartient a N -[1]
Excuse moi mathafou mais vu qu'il sont des nombres premiers a part si ils sont égaux ils sont bien premiers entre eux non ?
et pas , oui bien sûr.
"qu'ils sont des nombres premiers" ah bon ??? pourquoi ça ???
seul p est premier là dedans
ni a ni b ni le quotient a' de a par px ni le quotient b' de b par py ne sont des nombres premiers par hypothèse.
et a' et b' n'ont aucune raison d'être premiers entre eux
p est un diviseur commun premier de a et b, rien ne dit qu'il n'y a pas d'autres diviseurs premiers communs à a et b !
par exemple a = 23×34×7
b = 25×32×11
p = 2 (un des diviseurs premiers de a et b), donc X = 3 et Y = 5, exposants de 2 dans la décomposition de a et de b
a = 23a' et a' = 34×7
b = 25b' et b' = 32×11
il n'y a nulle part de nombres premiers là dedans à part 2
et ni a ni b ni a' ni b' ne sont "premiers entre eux"
a' et b' ont 3 comme diviseur commun (entre autres)
p = 2 est premier avec a' et b' oui
puisque p ne divise ni a' ni b', car tous les facteurs "p" = 2 de a on été "extraits" et tous les facteurs p de b
mais on n'a absolument rien dit des facteurs 3 communs à a et b ici
on ne s'est intéressé qu'à un seul diviseur premier de a et b, celui qu'on a appelé "p", pas aux autres !
Ah d'accord je comprends mieux , je pensais que c'étais un décomposition complète en facteur premiers avec a' et b' sans exposant .
J'y retourne de suite .
avec a' et b' sans exposant
avec ou sans ne change rien, dans mon exemple j'aurais aussi bien pu prendre l'exposant de 3 égal à 1 pour a' et b'.
la seule chose qu'on sait c'est que p ne divise plus ni a' ni b'
quant aux autres facteurs premiers de a et b on ne sait rigoureusement rien dessus.
(à part une fois qu'on aura démontré la propriété, que ce sera vrai pour eux aussi, pour tous les diviseurs premiers communs à a et b)
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