salut

je te donne une autre methode qui evite l'embrouille ..à toi de voir si elle te convient

on a  5x=7[12]  qui s'ecrit aussi 5x = 7 + 12p
on a   x=10[23] qui s'ecrit aussi x = 23p' + 10

donc  5(23p'+10 ) = 7 + 12p   soit  115p' - 12p = -43 , à partir de cette équation on peut remarquer

115 = 7[12] alors  115p' =7p'[12] , on remarque aussi que 12=0[12] alors je peux écrire 12p=0[12] , en soustrayant

les deux équations obtenues : 115p' =7p'[12]  et 12p=0[12]  j'obtiens : 115p'-12p=7p'[12] or 115p' - 12p = -43

donc : -43=7p'[12] il restera juste a trouver p' pour obtenir x et le tour sera joué.

-43=7p'[12] s'ecrit aussi 7p'=-43[12]  or "49=7*7=1[12]"  alors 49p'=p'[12] , avec 7p'=-43[12] je peux écrire

7*7p'=-43*7[12]  soit 49p'=-301[12] ou encor 49p'=-1[12] ( j'ai donc pour terminer  49p'=-1[12] et 49p'=p'[12])

qui me permet de dire que p'=-1[12]  je peux mettre p sous la forme p'= -1+12j et le remplacer dans x = 23p' + 10

ce qui me donne   x = 23.(-1+12j) + 10 = -13 + 276j  ou encor x=-13[276]

Bonjour,

x0 = (-1)*(2*12) + 10*((-1)*23)
si tu cherches à réduire ça modulo 12 tu trouves que x0 10*((-1)*23) [12]

or la relation de Bézout s'écrit 1 = (-1)*23 [12]
et donc tu obtiens x0 10 [12]

et tu vois bien que tu as échangé tes équations !!
(tu devrais avoir x0 -1 [12])

c'est ce qui se passe quand on "récites" et "recopie des trucs" au lieu de réfléchir

on veut que x0 satisfasse à l'équation modulo 12
donc le facteur 12 doit être pour l'autre solution, celle de l'équation modulo 23

x0 = 10*(2*12) + etc
et l'autre (l'équation modulo 12) est avec le facteur 23

maintenant si on veut que x0 satisfasse à l'équation modulo 23 il faut que le morceau avec le facteur 12 "se simplifie en 1" modulo 23

et donc le coefficient 2 issu de la relation de Bézout écrite 1 2*12 [23]

et pareil de l'autre côté.

ce qu'il faut apprendre c'est la raison du choix des coefficients.

Je suis désolée je ne comprends toujoirs pas pourquoi on a inversé les coefficient...

c'est toi qui a inversé les coefficients (plus exactement tu as inversé les deux équations, c'est le (-1) solution et le 10 solution que tu as inversés)

reprends mes explications

de façon générale (théorème des restes chinois)

si u est solution de x a [m]
et v est solution de x b [n]
m et n premiers entre eux
x sera solution du système si :

x u*(*n) + v*(*m) [mn]

en appelant l'inverse de m modulo n et l'inverse de n modulo m
c'est à dire les coefficients de Bézout m + n = 1
relation de Bézout qui s'écrit m 1 [n] et n 1 [m]
d'où l'appellation "d'inverse" : le produit "vaut" 1 (congru à 1)

et ces coefficients "des restes chinois" sont choisis justement pour que en appliquant à x les deux congruences du système "ça colle"

on retrouve la solution u en réduisant x modulo m :

x u*(*n) + v*0 [m] (le produit par m donne 0 modulo m !!)
et puisque par définition de , on a *n 1 [m] cela donne bien
x u*1 u [m] qui est bien la bonne équation.

Et pareil quand on réduit modulo n : le produit par n s'élimine et il reste x v [n]

* u = a et v = b bien sur, vu la façon dont sont écrites mes équations
mais c'est "plus général" :
si u solution d'une équation quelconque "modulo m" etc

Je crois voir compris, merci beucoup (: