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Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles

Posté par
elevedets
25-04-09 à 10:35

Bonjour !

Je suis entrain de faire un DM, et j'aimerais avoir de l'aide par rapport à ce que je propose
Voici le début de l'énoncé :

On considère la fonction f définie sur par f(x) = ln (ex+2e-x). (On me donne en annexe la courbe (C) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal).

Partie A : Etude de la fonction f
1)Montrer que, pour tout réel x, f(x) = x + ln(1 + 2e-2x).

Ma réponse :

f(x) = x + ln (1 + 2e-2x)
     = x + ln (1) + ln (2e-2x)

Or ln(1)=0

f(x) = x + ln (2e-2x)

Or x = ln(ex) pour tout réel x.

Donc f(x) = ln (ex + 2e-2x)

Mais je ne vois pas comment arriver à
f(x) = ln (ex + 2e-x)

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
ipie11
re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 25-04-09 à 11:07

bonjour
tu inventes de formules fausses
on a ln(ab)=ln a +ln b pour a> 0 et b>0
essaie ainsi
f(x) = ln (ex+2e-x)
f(x)=ln[ex(...+...)]

Posté par
dellion_fr
Re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 25-04-09 à 11:15

Bonjour,
f(x) = ln(ex+2e-x) peut s'écrire (si mes souvenirs sont bons...)
f(x) = ln[ex(1+2e-2x)]
f(x) = ln ex+ln(1+2e-2x)
f(x) = x+ln(1+2e-2x)

Posté par
elevedets
Re : Exercice sur les Logarithmes avec exponentielles 25-04-09 à 11:59

Merci, j'ai compris mon erreur

Voici la suite de l'énoncé :

On admet que, pour tout réel x, f(x) = -x + ln (2+e2x).
2)Calculer la limite quand x tend vers + de f(x) et montrer que la droite (d) d'équation y=x est asymptote à (C). Etudier la position relative de (C) et de (d).

Ma réponse :

Calcul de la limite :

•lim quand x tend vers + de -x = -
•lim quand x tend vers + de (2+e2x) = + et lim quand x tend vers + de ln(x) = + DONC par produit, lim quand x tend vers + de ln(2+e2x) = +

==> DONC par somme, lim quand x tend vers + de f(x) = -x + ln (2+e2x) = FI

Est-ce normal que je trouve une forme indéterminée ???
et pourriez-vous m'expliquer comment montrer qu'une droite est asymptote à une courbe ? Je ne m'en souvient plus

Merci d'avance !

Posté par
ipie11
re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 25-04-09 à 13:03

il serait plus judicieux d'utiliser l'autre forme de f(x) pour calculer la limite!

D:y=ax+b est asymptote à (C)y=f(x) si on  a \lim_{x \to +\infty} f(x)-(ax+b)=0

Posté par
elevedets
Re : Exercice sur les Logarithmes avec exponentielles 25-04-09 à 15:14

Avec f(x) = x+ ln(1+2e-2x) ??

Cela ferait alors :
•lim(x->+)x = +
•lim(x->+)e-2x = + Donc lim(x->+)(1+ 2e-2x) = +
lim(x->+)ln(x) = + DONC par produit, lim(x->+)ln(1+ 2e-2x) = +

DONC PAR SOMME, lim(x->+)f(x) = +

Merci d'avance !

Posté par
ipie11
re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 25-04-09 à 15:25


\lim_{x \to +\infty}e^{-2x}=0
puisque  \lim_{x \to +\infty}-2x=-\infty \;et\; \lim_{X \to -\infty}e^{X}=0 (composition de limites)

Posté par
elevedets
Re : Exercice sur les Logarithmes avec exponentielles 28-04-09 à 14:18

Bonjour,

Mais pourquoi écrivez-vous :

lim (x-> -ex) ?

Ce n'est pas lim (x-> +ex)???
--> cette limite est égale à +

Mais je retrouve encore une forme indéterminée après...

Merci d'avance !

Posté par
ipie11
re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 28-04-09 à 17:30

bonjour
j'écris la limite de exp(X) quand X tend vers - car il s'agit de trouver la limite de exp(-2x) en + et ce qu'il y a à l'intérieur de l'exponentielle, c'est -2x qui tend bien vers - quand x tend vers +
Compris?

Posté par
elevedets
Re : Exercice sur les Logarithmes avec exponentielles 28-04-09 à 20:28

Oui je pense !

Je récapitule donc, en espérant ne plus faire d'erreur :

lim(x-> +) f(x) = ?

•lim(x-> +)x = +
•lim(x-> +) 2e-2x = ?

==> lim(x-> +) -2x = -. Or lim(x-> -)ex=0
Donc lim(x-> +)e-2x = 0 et donc lim(x-> +) 2e-2x=0

=> On en déduit donc que lim(x-> +) (1+2e-2x) = 1

• lim(x-> +) ln(x) = + DONC lim(x-> +) ln(1+2e-2x) = ln (1) = 0

On peut donc en conclure que par addition,
lim(x-> +) f(x) = +


Merci beaucoup pour votre aide ! :)

Posté par
ipie11
re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 28-04-09 à 20:57

tu as écrit:" ... lim(x-> +) (1+2e-2x) = 1

lim(x-> +) ln(x) = +  DONC lim(x-> +) ln(1+2e-2x) = ln (1) = 0"

la limite que j'ai soulignée est juste mais elle n'a rien à faire ici et le donc suivant est faux
il serait plus utile de la remplacer par lim(X->1) ln X = ln 1 =0 ainsi le donc prend du sens

Posté par
elevedets
Re : Exercice sur les Logarithmes avec exponentielles 29-04-09 à 11:12

Bonjour,

Donc j'écris plutôt :

lim(x-> 1)ln(x) = ln(1) = 0
Donc lim (x-> +) ln(1+ 2e-2x) = lim (x->1)ln(1+ 2e-2x) = ln (1) = 0

Merci d'avance ! :)

Posté par
elevedets
Re : Exercice sur les Logarithmes avec exponentielles 30-04-09 à 20:33

Est-ce que c'est bien cela ? Merci d'avance !

Posté par
ipie11
re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 30-04-09 à 21:15

bonjour
\lim_{x\to +\infty} 1+2e^{-2x} = 1
 \\ et\;\lim_{t \to 1}\ln t=0\;donc\;\lim_{x\to +\infty}\ln(1+2e^{-2x})=0 d'après les théorèmes sur les limites des fonctions composées
(il faut bien comprendre le changement de variables ; ce qu'il y a à l'intérieur du ln, c'est  t = 1+e^(-2x)
on cherche ce que devient t quand x tend vers +, (mettons que t tend vers a) puis la limite de ln(t) quand t tend vers a )

Posté par
elevedets
Re : Exercice sur les Logarithmes avec exponentielles 01-05-09 à 11:00

Bonjour,

Je pense que j'ai compris
Et donc comme on a :
•lim(x-> +)x = +
•lim(x-> +)ln (1+2e-2x) = 0

alors par addition, lim(x-> +) f(x) = +

Citation :
D:y=ax+b est asymptote à (C)y=f(x) si on  a lim(x-> +)f(x)-(ax+b) = 0


--> Je ne comprend pas cela. Pourriez-vous m'expliquer ?
Merci d'avance !

Posté par
ipie11
re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 01-05-09 à 13:11

bonjour,
ici, on remarque que f(x) tend vers + avec x, à "cause" de x  car f(x) est la somme de x et d'une quantité qui tend vers 0 quand x tend vers +
si on n'avait pas de calculatrice et si on avait besoin de connaitre des valeurs approchées de f(x), on pourrait dire: pour x assez grand, f(x)x

en termes de limites, on écrit:
lim(x->+) f(x) -x =lim(x->+) ln(1+e-2x)=0
ce qui prouve que ...

Posté par
elevedets
Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 03-05-09 à 11:04

Bonjour,

Je n'ai pas tout compris, donc je préfère ne rien noter sur ma copie par rapport à l'asymptote, afin que ma prof voit mes difficultés à propos de cela...

Je suis donc passé à la question 3, où l'on me demande de calculer lim(x-> -)f(x).

J'ai travaillé avec f(x) = -x + ln(2+e2x).

Je trouve :
•lim(x-> -) -x = +
•lim(x-> -)ln(2+e2x)=0+

Ainsi par addition, lim(x-> -)f(x)) = +

Est-ce bien cela ?

En question 4, on me demande :
Etudier les variations de la fonction f.

==> Je ne suis pas très certaine pour la dérivée...

J'ai pris f(x) = ln (ex+2e-x)

f'(x) = 1/(ex+2e-x)

???

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
ipie11
re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 03-05-09 à 11:17

tu as dit:
•lim(x-> -) -x = + Exact
•lim(x-> -)ln(2+e2x)=0+ Non

Quand x ->-, e2x tend vers 0 donc 2+e2x tend vers 2 (puisqu'on a ajouté 2)
alors ln(2+e2x) tend vers ln(2)

Ainsi par addition, lim(x-> -)f(x)) = + oui

ta dérivée est fausse
formule: (\ln(u))' =\frac{u'}{u}
toi tu as écrit  \frac{1}{u}

Posté par
elevedets
Re : Exercice sur les Logarithmes avec exponentielles 03-05-09 à 11:24

J'avais bien trouvé ln(2) qui vaut 0.693, c'est pour cela que j'avais écrit 0+


Pour la dérivée...
u = ex+2e-x
u' = ex+e-x
??

Merci d'avance !

Posté par
ipie11
re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 03-05-09 à 12:37

quand on écrit, O+ pour une limite quand x tend vers +, cela veut dire que l'expression s'approche aussi près que l'on veut pourvu que x soit suffisamment grand
ici, l'expression s'approche de ln 2 qui n'est pas proche de 0
C'est comme si tu disais que le plus petit des insectes était minuscule! Pour l'homme, oui mais pour une bactérie, c'est un géant
alors une expression qui s'approche de ln 2 n'a pas du tout le même comportement qu'une expression qui s'approche de 0

Pour la dérivée...
u(x)= ex+2e-x
u'(x) = ex-2e-x car (eu)'=u' eu

Posté par
elevedets
Re : Exercice sur les Logarithmes avec exponentielles 03-05-09 à 14:26

Je ne comprend pas comment l'on fait pour trouver u'(x)

...

Merci d'avance ...

Posté par
ipie11
re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 03-05-09 à 14:29

?
je t'ai donné la réponse en te donnant la bonne formule!

Posté par
ipie11
re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 03-05-09 à 14:31

enfin je t'ai donné une formule, j'ai aussi utilisé (u+v)'=...
(ku)'=...
et (exp(u))'=u' exp(u)
qu'est ce que tu ne comprends pas?

Posté par
elevedets
Re : Exercice sur les Logarithmes avec exponentielles 03-05-09 à 14:32

Oui j'ai bien vu, mais cela n'empêche, je n'ai pas compris !

Pourquoi passe-t-on de +2e-x à -2e-x ??

Posté par
ipie11
re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 03-05-09 à 14:43

e-x est de la forme exp(u)
exp(u) est la composée de u suivie de l'exponentielle
dérivée: on dérive d'abord ce qu'il y a à l'intérieur et on multiplie par exp(u)
c'est-à dire:  (eu) ' = u'× eu

Posté par
ipie11
re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 03-05-09 à 14:44

avec u(x)=-x, on a u'(x)=-1

Posté par
elevedets
Re : Exercice sur les Logarithmes avec exponentielles 03-05-09 à 15:18

Ca y est j'ai enfin compris ! (je cherche tjrs compliqué là où c'est simple )

Donc u'(x) = ex-2e-x
et f'(x) = (ex-2e-x)/(ex+2e-x)

J'ai construit un tableau de signe, dans lequel j'étudie :

•le signe de ex-2e-x : négatif dans l'intervalle ]-;0] et positif dans ]0;+[

• le signe de (ex+2e-x : positif

Ainsi le signe de f'(x) est négatif sur ]-;0] et positif sur ]0;+[

La fonction f est donc décroissante sur ]-;0] et croissante sur ]0;+[

lim(x-> +)f(x) = +
lim(x-> -) f(x) = +
f(0) = 1.0986

Je construit ensuite mon tableau de variations...

Merci d'avance !

Posté par
ipie11
re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 03-05-09 à 15:25

il faut étudier le signe sérieusement! d'abord on factorise en produit de facteurs dont on sait trouver le signe ...
e^x-2e^{-x}=e^{-x}(e^{2x}-2)=e^{-x}(e^{x}-\sqrt 2)(e^{x}+\sqrt 2)

Posté par
elevedets
Re : Exercice sur les Logarithmes avec exponentielles 03-05-09 à 16:05

Ok ...

Je passe à la partie B de cet exercice, et là je bloque car il s'agit d'intégrale et cela vient juste d'être abordé en classe...

On pose I = 32 |f(x)-x|dx.

1) Donner une interprétation géométrique de I.

==> Qu'est ce que cela signifie ?
Merci d'avance !

Posté par
ipie11
re : Exercice sue les Logarithmes avec exponentielles 03-05-09 à 16:38

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