Bonjour !
Je suis entrain de faire un DM, et j'aimerais avoir de l'aide par rapport à ce que je propose
Voici le début de l'énoncé :
On considère la fonction f définie sur par f(x) = ln (ex+2e-x). (On me donne en annexe la courbe (C) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal).
Partie A : Etude de la fonction f
1)Montrer que, pour tout réel x, f(x) = x + ln(1 + 2e-2x).
Ma réponse :
f(x) = x + ln (1 + 2e-2x)
= x + ln (1) + ln (2e-2x)
Or ln(1)=0
f(x) = x + ln (2e-2x)
Or x = ln(ex) pour tout réel x.
Donc f(x) = ln (ex + 2e-2x)
Mais je ne vois pas comment arriver à
f(x) = ln (ex + 2e-x)
Merci d'avance pour votre aide !
bonjour
tu inventes de formules fausses
on a ln(ab)=ln a +ln b pour a> 0 et b>0
essaie ainsi
f(x) = ln (ex+2e-x)
f(x)=ln[ex(...+...)]
Bonjour,
f(x) = ln(ex+2e-x) peut s'écrire (si mes souvenirs sont bons...)
f(x) = ln[ex(1+2e-2x)]
f(x) = ln ex+ln(1+2e-2x)
f(x) = x+ln(1+2e-2x)
Merci, j'ai compris mon erreur
Voici la suite de l'énoncé :
On admet que, pour tout réel x, f(x) = -x + ln (2+e2x).
2)Calculer la limite quand x tend vers + de f(x) et montrer que la droite (d) d'équation y=x est asymptote à (C). Etudier la position relative de (C) et de (d).
Ma réponse :
Calcul de la limite :
•lim quand x tend vers + de -x = -
•lim quand x tend vers + de (2+e2x) = +
et lim quand x tend vers +
de ln(x) = +
DONC par produit, lim quand x tend vers +
de ln(2+e2x) = +
==> DONC par somme, lim quand x tend vers + de f(x) = -x + ln (2+e2x) = FI
Est-ce normal que je trouve une forme indéterminée ???
et pourriez-vous m'expliquer comment montrer qu'une droite est asymptote à une courbe ? Je ne m'en souvient plus
Merci d'avance !
il serait plus judicieux d'utiliser l'autre forme de f(x) pour calculer la limite!
D:y=ax+b est asymptote à (C)y=f(x) si on a
Avec f(x) = x+ ln(1+2e-2x) ??
Cela ferait alors :
•lim(x->+)x = +
•lim(x->+)e-2x = +
Donc lim(x->+
)(1+ 2e-2x) = +
lim(x->+)ln(x) = +
DONC par produit, lim(x->+
)ln(1+ 2e-2x) = +
DONC PAR SOMME, lim(x->+)f(x) = +
Merci d'avance !
Bonjour,
Mais pourquoi écrivez-vous :
lim (x-> -ex) ?
Ce n'est pas lim (x-> +ex)???
--> cette limite est égale à +
Mais je retrouve encore une forme indéterminée après...
Merci d'avance !
bonjour
j'écris la limite de exp(X) quand X tend vers - car il s'agit de trouver la limite de exp(-2x) en +
et ce qu'il y a à l'intérieur de l'exponentielle, c'est -2x qui tend bien vers -
quand x tend vers +
Compris?
Oui je pense !
Je récapitule donc, en espérant ne plus faire d'erreur :
lim(x-> +) f(x) = ?
•lim(x-> +)x = +
•lim(x-> +) 2e-2x = ?
==> lim(x-> +) -2x = -
. Or lim(x-> -
)ex=0
Donc lim(x-> +)e-2x = 0 et donc lim(x-> +
) 2e-2x=0
=> On en déduit donc que lim(x-> +) (1+2e-2x) = 1
• lim(x-> +) ln(x) = +
DONC lim(x-> +
) ln(1+2e-2x) = ln (1) = 0
On peut donc en conclure que par addition,
lim(x-> +) f(x) = +
Merci beaucoup pour votre aide ! :)
tu as écrit:" ... lim(x-> +) (1+2e-2x) = 1
• lim(x-> +) ln(x) = +
DONC lim(x-> +
) ln(1+2e-2x) = ln (1) = 0"
la limite que j'ai soulignée est juste mais elle n'a rien à faire ici et le donc suivant est faux
il serait plus utile de la remplacer par lim(X->1) ln X = ln 1 =0 ainsi le donc prend du sens
Bonjour,
Donc j'écris plutôt :
lim(x-> 1)ln(x) = ln(1) = 0
Donc lim (x-> +) ln(1+ 2e-2x) = lim (x->1)ln(1+ 2e-2x) = ln (1) = 0
Merci d'avance ! :)
bonjour
d'après les théorèmes sur les limites des fonctions composées
(il faut bien comprendre le changement de variables ; ce qu'il y a à l'intérieur du ln, c'est t = 1+e^(-2x)
on cherche ce que devient t quand x tend vers +, (mettons que t tend vers a) puis la limite de ln(t) quand t tend vers a )
Bonjour,
Je pense que j'ai compris
Et donc comme on a :
•lim(x-> +)x = +
•lim(x-> +)ln (1+2e-2x) = 0
alors par addition, lim(x-> +) f(x) = +
bonjour,
ici, on remarque que f(x) tend vers + avec x, à "cause" de x car f(x) est la somme de x et d'une quantité qui tend vers 0 quand x tend vers +
si on n'avait pas de calculatrice et si on avait besoin de connaitre des valeurs approchées de f(x), on pourrait dire: pour x assez grand, f(x)x
en termes de limites, on écrit:
lim(x->+) f(x) -x =lim(x->+
) ln(1+e-2x)=0
ce qui prouve que ...
Bonjour,
Je n'ai pas tout compris, donc je préfère ne rien noter sur ma copie par rapport à l'asymptote, afin que ma prof voit mes difficultés à propos de cela...
Je suis donc passé à la question 3, où l'on me demande de calculer lim(x-> -)f(x).
J'ai travaillé avec f(x) = -x + ln(2+e2x).
Je trouve :
•lim(x-> -) -x = +
•lim(x-> -)ln(2+e2x)=0+
Ainsi par addition, lim(x-> -)f(x)) = +
Est-ce bien cela ?
En question 4, on me demande :
Etudier les variations de la fonction f.
==> Je ne suis pas très certaine pour la dérivée...
J'ai pris f(x) = ln (ex+2e-x)
f'(x) = 1/(ex+2e-x)
???
Merci beaucoup pour votre aide !
tu as dit:
•lim(x-> -) -x = +
Exact
•lim(x-> -)ln(2+e2x)=0+ Non
Quand x ->-, e2x tend vers 0 donc 2+e2x tend vers 2 (puisqu'on a ajouté 2)
alors ln(2+e2x) tend vers ln(2)
Ainsi par addition, lim(x-> -)f(x)) = +
oui
ta dérivée est fausse
formule:
toi tu as écrit
J'avais bien trouvé ln(2) qui vaut 0.693, c'est pour cela que j'avais écrit 0+
Pour la dérivée...
u = ex+2e-x
u' = ex+e-x
??
Merci d'avance !
quand on écrit, O+ pour une limite quand x tend vers +, cela veut dire que l'expression s'approche aussi près que l'on veut pourvu que x soit suffisamment grand
ici, l'expression s'approche de ln 2 qui n'est pas proche de 0
C'est comme si tu disais que le plus petit des insectes était minuscule! Pour l'homme, oui mais pour une bactérie, c'est un géant
alors une expression qui s'approche de ln 2 n'a pas du tout le même comportement qu'une expression qui s'approche de 0
Pour la dérivée...
u(x)= ex+2e-x
u'(x) = ex-2e-x car (eu)'=u' eu
enfin je t'ai donné une formule, j'ai aussi utilisé (u+v)'=...
(ku)'=...
et (exp(u))'=u' exp(u)
qu'est ce que tu ne comprends pas?
Oui j'ai bien vu, mais cela n'empêche, je n'ai pas compris !
Pourquoi passe-t-on de +2e-x à -2e-x ??
e-x est de la forme exp(u)
exp(u) est la composée de u suivie de l'exponentielle
dérivée: on dérive d'abord ce qu'il y a à l'intérieur et on multiplie par exp(u)
c'est-à dire: (eu) ' = u'× eu
Ca y est j'ai enfin compris ! (je cherche tjrs compliqué là où c'est simple )
Donc u'(x) = ex-2e-x
et f'(x) = (ex-2e-x)/(ex+2e-x)
J'ai construit un tableau de signe, dans lequel j'étudie :
•le signe de ex-2e-x : négatif dans l'intervalle ]-;0] et positif dans ]0;+
[
• le signe de (ex+2e-x : positif
Ainsi le signe de f'(x) est négatif sur ]-;0] et positif sur ]0;+
[
La fonction f est donc décroissante sur ]-;0] et croissante sur ]0;+
[
lim(x-> +)f(x) = +
lim(x-> -) f(x) = +
f(0) = 1.0986
Je construit ensuite mon tableau de variations...
Merci d'avance !
il faut étudier le signe sérieusement! d'abord on factorise en produit de facteurs dont on sait trouver le signe ...
Ok ...
Je passe à la partie B de cet exercice, et là je bloque car il s'agit d'intégrale et cela vient juste d'être abordé en classe...
On pose I = 32 |f(x)-x|dx.
1) Donner une interprétation géométrique de I.
==> Qu'est ce que cela signifie ?
Merci d'avance !
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