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Exercice suite

Posté par
SwoIord
03-01-21 à 15:19

modération > **Bonjour***

Voici mon exercice :

On définit pour tout entier naturel n > 0, la suite (Un) de nombres réels strictement positifs par Un = n2/2n
1. Pour tout entier naturel n > 0, on pose Vn = Un+1/Un

a. Montrer que lim Vn = 1/2
b. Montrer que pour tout entier naturel n > 0, Vn > 1/2
c. Trouver le plus petit entier N tel que si n ? N, Vn < 3/4

J'ai réussi le petit a et le petit b dans lesquels on a d'ailleurs trouvé que Vn = (n+1)2/2n2

J'ai trouvé ceci sur un autre forum pour la question c :

Vn<3/4 ssi

0.5*(n+1)²/n²>3/4

on trouve n>1/((rac?3/2)-1) dc n>=5 dc la réponse est bien 5


mais je n'arrive pas à expliquer les étapes entre 0.5*(n+1)²/n²>3/4 et n>1/((rac?3/2)-1).
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice suite 03-01-21 à 16:34

bonjour aussi

le but n'est pas de jongler entre les forums mais de réfléchir et de raisonner ...!

tu dois donc résoudre l'inégalité suivante avec des opérations légales sur les inégalités vues dans les années précédentes :

\dfrac{(n+1)^2}{2 \; n^2} < \dfrac{3}{4}

on t'écoute...

Posté par
hekla
re : Exercice suite 03-01-21 à 16:40

Bonjour

v_n=\dfrac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\times \dfrac{2^n}{n^2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2

Avec cela on a réponse à 1 a et 1 b

v_n <\dfrac{3}{4}\iff  1+\dfrac{1}{n}<\sqrt{\dfrac{3}{2}}

donc \dfrac{1}{n}<\sqrt{\dfrac{3}{2}}-1

\sqrt{\dfrac{3}{2}}-1= \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-1=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

on passe à l'inverse  

n> \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}

on rend rationnel le dénominateur  n> \sqrt{2}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)

le plus petit entier naturel supérieur à  \sqrt{2}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) est 5

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice suite 03-01-21 à 17:35

hekla : ce serait bien de le laisser faire je pense... surtout que cela m'étonnerait qu'un élève de première procède ainsi... il va recopier bêtement un truc auquel il n'a rien compris ...

Posté par
SwoIord
re : Exercice suite 03-01-21 à 19:06

Merci beaucoup hekla j'ai fini par tout compris. Et c'est vrai matheuxmatou sur le fond t'as raison, mais je n'ai pas cette mentalité là et au début je ne comprenais pas tout j'ai mis un petit temps mais au moins je me suis obstiné et ait fini par comprendre. Bref merci à vous deux de m'avoir répondu en tout cas.

Posté par
SwoIord
re : Exercice suite 03-01-21 à 19:06

par tout comprendre*

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice suite 03-01-21 à 19:10

comprendre est une chose.... mais serais tu capable de le refaire !!!!!!

si tu es en devoir et que tombes sur

\dfrac{(n+1)^2}{2 \; n^2} < \dfrac{3}{4}

à résoudre tout seul, je ne suis pas sûr que tu ferais comme ça.

bref !

bonne soirée !

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