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exercice: suite

Posté par
barka54
08-05-21 à 20:23

Bonjour,
Je bloque sur un exercice dont l'énoncé est le suivant :

On considère la suite (Un) définie par : pour tout entier naturel non nul n,
U_{n}=\frac{ln(n+1)+ln(n+2)+...+ln(2n)-nln(n)}{n} .

1. Démontre que pour tout entier naturel  non nul n,
U_{n}=\frac{1}{n}[ln(1+\frac{1}{n})+ln(1+\frac{2}{n})+...+ln(1+\frac{n}{n})] .

2. a) Démontre que pour tout entier naturel non nul k ,  0≤k≤n-1
\frac{1}{n}ln(1+\frac{1}{n})\leq{\int{^{1+\frac{k+1}{n}}_{1+\frac{k}{n}}ln(x)dn}}\leq{\frac{1}{n}ln(1+\frac{k+1}{n})} .

b) Déduis-en que U_{n}-\frac{1}{n}ln2\leq{\int{^{2}_{1}lnx*dx}\leq{U_{n}} .

3. Détermine la limite de (Un).



1. J'ai déjà démontré \red{U_{n}=\frac{1}{n}[ln(1+\frac{1}{n})+ln(1+\frac{2}{n})+...+ln(1+\frac{n}{n})]} .

2.a) Je bloque carrément sur cette question,  je ne sais vraiment pas où commencer...

Posté par
breuil
re : exercice: suite 08-05-21 à 21:27

Bonjour
pensez à l'inégalité de la moyenne. Ln est croissante ce qui permet de l'encadrer sur un intervalle.

Posté par
breuil
re : exercice: suite 09-05-21 à 10:53

Bonjour
Mais peut-être erreur d'énoncé , le minorant devrait être 1/n.ln(1 +k/n).
Excusez moi je ne l'avait pas vu hier soir.

Posté par
breuil
re : exercice: suite 09-05-21 à 10:59

C'est même sûr.

Posté par
barka54
re : exercice: suite 09-05-21 à 12:38

Oui justement c'est bien cela,  j'ai fais une erreur de copie.


Donc si je prends par exemple  x appartenant à l'intervalle I= [1+k/n ; 1+k/n +1] c'est-à-dire
1+  k/n ≤x ≤ 1 + (k+1)/n , x étant strictement  positif et la fonction x→lnx étant strictement croissante sur ]0; +∞[ , on peut écrire:
ln(1+  k/n )≤lnx ≤ (1 + (k+1)/n )
En appliquant l'inégalité de la moyenne sur I et en intégrant par rapport à la variable x , je trouve bien l'inégalité.

Posté par
breuil
re : exercice: suite 09-05-21 à 18:23

C'est tout à fait ça!

Posté par
barka54
re : exercice: suite 10-05-21 à 19:04

D'accord .
Merci à vous

Posté par
breuil
re : exercice: suite 10-05-21 à 20:17

De rien . N'hésitez  pas si besoin pour la suite. Bonne soirée.



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