Bonsoir j'ai besoin de votre aide pour l'exercice suivant :

On considère la suite (U_n) définie par U₂= 1 et pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 par u_n+1= (1-(1/n²)) u_n

Questions:

1) a. Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a 0 u_n1.
   b. Étudier le sens de variation de la suite (u_n).

2) En déduire que la suite (u_n) est convergente.

3) Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, u_n= (n)/2(n-1).
En déduire lim _{n—> +} U_n

Mes réponses:

a) Soit (U_n) la suite définie par U_n+1= (1-(1)/n²) U_n et par U₂=1

Démontrons par récurrence que 0U_k1

Initialisation:

Pour n=2, on a 0U₂1
donc 011

La propriété est vraie au rang n=2

Hérédité:

hypothèse de récurrence: supposons  qu'il existe un entier k tel que la formule soit vraie: 0 U_k 1

Démontrons par récurrence que la propriété est vrai au rang k+1 : 0U_k+11

Donc 0 U_k1

Alors 0* (1-1/n²) (1- 1/n²) U_k 1*(1-1/n²)

Donc 0 (1-1/n²) Uk (1-1/n²)

Donc 0 U_k+1(1-1/n²).

On peut donc déduire que 0 U_k+1 1. L'hérédité est vérifiée

Conclusion: La propriété est vrai au rang n=2 et héréditaire à partir de ce rang.
Elle est donc vrai pour tout entier naturel n2

1)b) U_n+1- U_n = (1-1/n²) U_n-U_n
= (n²/n² - 1/n²) U_n - U_n
= (n²-1/n²) U_n - U_n
= (U_n*(n²-1)/n²) - U_n
= (U_n* n²- U_n- U_n*n²)/n²
= U_n/n²
Donc : *U_n N
                *n²>0

La suite est donc croissante


2) La suite converge vers un réel L qui est 1

3) ?

Merci pour votre aide, bonne soirée