Bonjour,

La dérivée première est correcte.
Par contre, tu devrais revoir ta dérivée seconde... car elle est fausse !!

Par rappel, la dérivée de est donnée par : .

Ah non, autant pour moi elle est correcte...
Mais tu pouvais faire beaucoup mieux en simplifiant ton numérateur !! En factorisant par 2 : (2x-4) = 2(x-2) et le (x-2) se simplifie avec le (x-2)⁴ du dénominateur...
Ce qui donne 2/(x-2)³.

Mais en utilisant la formule que j'ai donnée plus haut, tu aurais pu directement arriver au résultat...

Bonjour,

Donc la deuxième ça ferait 2/(x-2)^3 ?

Oui.
Ta dérivée seconde que tu as donnée était correcte, mais pas assez  simplifiée.

Wow d'accord ok, donc logiquement à la dérivée suivante:

-(4)/(x-2)^4   (j'avais oublié le - tout à l'heure)

Pardon

-4/(x-2)^3

Non, la dérivée suivante donne : (en utilisant la formule de 1/u^n donnée plus haut)

-(2*3) / (x-2)^4 = -6/(x-2)^4.

Ah oui!

Donc la prochaine (cette fois c'est la bonne):

-8/(x-2)^5

Non plus !
Le signe change à chaque dérivée !! Et n=4.
Considères toujours que tu fais -6 fois la dérivée de la fonction 1/u^n. Ainsi tu ne te tromperas pas.
Cela devient : -(-6)*4 / (x-2)^5 = +24/(x-2)^5.

Roah!

Bon ok.

Et donc, après il faut traduire ça avec des n, j'avais pensé à

-2n/(x-2)^(n+1)

Mais on n'arrive pas à trouver la première dérivée avec ça...

Du coup je pense que le dénominateur est bon mais j'ai du mal avec le numérateur...

Ton dénominateur est correct, c'est bien (x-2)^(n+1) (Tu remarques que le degré augmente de 1 à chaque dérivée, ceci était assez évident à visualiser... )

2e information : tu peux aussi constater qu'à chaque dérivée, tu changes de signe !
La dérivée 1ère donne un - , la seconde un +, la 3ème un - , etc... ainsi de suite.
Donc peux-tu écrire une expression en fonction de n qui répondrait à cette information ?

Bah je pensais à -(quelque chose)^n

Mais le quelque chose doit être fixe non?

Faisons plus simple...
Quelle expression en fonction de n donnerais-tu pour cette suite :

+1 ; -1 ; +1 ; -1 ; +1 ; etc..... ?

-(-1)^n

Pourquoi un signe "-" devant ??
Si tu remplaces n par 0, cela donne -1 et non +1.

Pour rappel, n'importe quel nombre à la puissance 0 donne 1 !

Bah c'est ce qu'il faut non?

La première dérivée c'est bien -1 ?

Attention, à n=0, tu retrouves tout simplement la fonction donnée au départ !!
Soit f(x)=1/(x-2), ici c'est donc bien un "+"

A n=1, c'est la dérivée première. Et c'est bien un signe "-". Etc..
Donc au final, c'est bien (-1)^n et non pas -(-1)^n qui répond au problème !

effectivement mais (-1)^n ne marche plus à partir de U2 puisque ça fera 1

Pourquoi cela ?
La dérivée première donne bien -1/(x-2)² non ? (n=1)

Oui mais la dérivée d'après donc U2 = 2/(x-2)^3

Or (-1)^2 = 1 pas 2

Ah...
Je n'ai donnée qu'un bout de la solution finale !!
A savoir (-1)^n (car à chaque dérivée, le signe change)

A présent, reste à déterminer le dernier bout...
Indication :

Tu remarques que :
Dérivée 1ère : 1
Dérivée seconde : 1*2
Dérivée tierce ; 1*2*3
Dérivée 4e : 1*2*3*4
etc...
Donc quelle expression en fonction de n peux-tu écrire ?

euh...

1*n*(n+1)*(n+2)*...   ?

C'est pas du style x!   ?

Non !!

Tu as tout simplement : 1*2*3*4*...*n (n correspond à ta dérivée n-ème justement)

Mais le produit : 1*2*3*4*...*n : ne reconnais-pas ce type d'écriture ? Comment cela peut-il aussi s'écrire ?

Bah c'est une somme...

n(n+1) ?

Ah si je viens de voir ta réponse : oui, justement !! Tu reconnais la forme factorielle !!
1*2*3*4*...*n = n! (avec la convention bien sûr 0! = 1).

Au final, en regroupant tout, on obtient :

Pour tout entier naturel n et tout x appartenant à ]-2;+inf[ :
f⁽ⁿ⁾(x)=(-1)^n * n! / (x-2)^(n+1)

Je te laisserai éventuellement voir que c'est bien la formule attendue en testant différentes valeurs de n.

f⁽ⁿ⁾ (x) ?

Il sert à quoi le n?

Bien sûr l'écriture f⁽ⁿ⁾(x) (n entre parenthèses) désigne la dérivée n-ème de la fonction f.
A ne pas confondre avec l'écriture f ⁿ(x) (sans parenthèse) qui désignerait non pas la dérivée mais le degré n-ème de la fonction f.

D'accord, donc il est indispensable ici

Justement c'est la notation mathématique.
On note f⁽ⁿ⁾(x) la dérivée n-ème de la fonction f. Ce qui d'ailleurs répond à la question qui t'es demandée.

f⁽¹⁾(x) serait la dérivée première (qu'on écrit plus généralement f'(x))
f⁽²⁾(x) la dérivée seconde (on l'écrit plus généralement f''(x))

A partir de n=3, on commence à adopter l'écriture f⁽³⁾(x) afin de ne pas trop s'alourdir en " ' "

Oui les parenthèses sont indispensables !!
Car sinon, on pourrait croire que c'est le degré de la fonction f, et non la dérivée !! Ce qui est hors-sujet...

D'aaaacord! Donc en fait ça "remplace" le U1 U2 etc

En tous les cas, merci BEAUCOUP pour votre aide!

f⁽³⁾(x) et f³(x) sont 2 choses différentes.

f⁽³⁾(x) désigne la dérivée troisième
alors que f³(x) désigne la fonction f élévée au cube.

Oui, tu vois à présent que la formule finale (à savoir (-1)^n*n! / (x-2)^(n+1) ) est très efficace !!

Car elle te permet de calculer n'importe quelle dérivée !!
Par exemple, si tu veux calculer la dérivée 7ème, tu auras tout simplement :

.

De rien et bonne continuation.

Encore merci et à vous aussi !