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Exercice Suite Type Bac Très Difficile :S

Posté par
olive_68 10-11-08 à 00:50

Bonsoir,

J'ai un exercice super dure à mon gout

1. Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur a x .
  a)Prouvez par récurrence sur n que,pour tout entier n supérieur ou égal a k,
       kn/(n!)kk/(k!)
  b)Déduisez-en que,pour tout entier n supérieur ou égale a k,
       xn/(n!)(x/k)n.kk/(k!)

Pour la a) je fais l'initialisation sans prob lol et l'hérédité devient plus dure lol
je fais le calcul au rang n+1 je fini par trouver
k.kn/(n!).nkk/(k!) car kn et que kn/(n!)kk/(k!)

C'est dur a lire l'énoncé ^^ Désolé

Alors j'éspere que l'on me dise si ma récurrence je l'ai bien utilisé ^^ Et que c'est juste ou faux ^^
Puis comment je fais pour la b) ^^
Si possible pour la b) j'aimerais juste des pistes ^^ que je puisse cherché un peu

Bon Ben Merci D'avance

Posté par
Youpire : Exercice Suite Type Bac Très Difficile :S 10-11-08 à 01:22

on suppose que c'est vrai au rang n

donc 3$ \frac{k^n}{n!}\le \frac{k^k}{k!}

si on multiplie 3$ \frac{k^n}{n!} par 3$\frac{k}{n+1}

comme 3$ n+1\ge k alors 3$\frac{k}{n+1}\le 1

ainsi 3$\frac{k}{n+1}\times\frac{k^n}{n!}\le \frac{k^n}{n!}

3$\Longleftrightarrow \frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\le \frac{k^n}{n!}

or 3$ \frac{k^n}{n!}\le \frac{k^k}{k!}

donc 3$\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\le \frac{k^k}{k!}

la relation est donc vraie au rang n+1

Posté par
olive_68Suite :Une question bac très difficile 13-11-08 à 19:15

Bonsoir,

Je dois prouver que \lim_{n\to +\infty} \frac{x^n}{n!}=0

Sachant que: Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x
                    et  nk

Or j'ai déja prouvé: \frac{k^n}{n!}\frac{k^k}{k!}
                  ainsi que \frac{x^n}{n!}(\frac{n}{k})n.\frac{k^k}{k!}

Comme x,k et n sont des valeurs 0 j'ai pensé que je pourrais utiliser le theorême de comparaison et prouvé qu'une expréssion est a celle que j'étudie, tendais vers O (en+)
et puisque x,k et n sont des valeurs positives j'ai pensé que \frac{x^n}{n!} aurais donc un encadrement et j'aurais pu trouver la limite, mais le problème est que je n'aboutie pas

Et j'ai une autre question, est-ce que \lim_{n\to +\infty} \frac{k^k}{k!} est une valeurs que l'on a dans le cours normalement? car si \lim_{n\to +\infty} \frac{x^n}{n!}=0 j'aboutirais grâce aux questions précédentes

Merci d'avance, J'éspère avoir vos aides ^^


*** message déplacé ***

édit Océane : pose toutes les questions de ton exercice dans le même topic, merci

Posté par
Rodrigore : Suite :Une question bac très difficile 13-11-08 à 19:24

Bonsoir,
Remarque que u_{n+1}/u_n=x/(n+1) qui tend vers 0 en l'infini.

*** message déplacé ***

Posté par
olive_68re : Suite :Une question bac très difficile 13-11-08 à 21:03

Bonsoir j'étais parti mangé au resto..

Merci de ta réponse

Mais je ne comprend pas vraiment.. est-ce que cela suffit a prouver que Un tend vers l'inifni??
(j'avais utilisé cette méthode et aboutie au même résultat mais je me disait que cela ne suffirait pas)

Sinon avant j'ai pensé faire u_{n+1}-u_n et trouver que le résultat tend vers + (pour n qui tend vers +) car je pourrais justifier que l'écart devient de plus en plus grand... Mais ne faut-il pas montré alors précédement que u_n est croissante?? (je pense en effet que suivant les variations de u_n, u_{n+1}-u_n pourrait être aussi de plus en plus grand...)

Enfin bon merci de l'explication

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Posté par
olive_68re : compacité 13-11-08 à 21:32

Bonsoir a vous

Je suis désolé de venir ici pour faire cette demande,
J'ai un exercice bien compliqué de suite,(je suis en Terminal S)
mais je n'obtient pas de réponse à mes questions .. peut-être trop dure?!

Alors voila si quelqu'un veut bien faire un tour à "Suite:Question bac très difficile"
Ce serait super ..

Désolé ttjeanmichel de faire ma "pub" chez toi
Merci d'avance sinon pas grave merci quand même ^^

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Posté par
olive_68Démonstration D'une suites 13-11-08 à 22:23

Bonsoir j'aimerais démontrer:

\lim_{n\to +\infty} \frac{x^n}{n!}=0 avec x<n

Merci d'avance pour vos aides ^^

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Posté par
cailloux Correcteurre : Suite :Une question bac très difficile 13-11-08 à 22:23

Bonsoir,

Citation :
\frac{x^n}{n!}\leq \left(\frac{n}{k}\right)^n\frac{k^k}{k!}


Ce ne serait pas plutôt:

\frac{x^n}{n!}\leq \left(\frac{x}{k}\right)^n\frac{k^k}{k!} ?


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Posté par
homerere émonstration D'une suites 13-11-08 à 22:37

bonsoir,

tu es sûr de la condition sur x ? cela ne serait pas 0<x<1 ?


...............

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Posté par
Youpire : Démonstration D'une suites 13-11-08 à 22:38

utilise le théorème des gendarmes.

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Posté par
cailloux Correcteurre : Suite :Une question bac très difficile 13-11-08 à 22:49

J ' ai vérifié, ton énoncé de 19h15 est faux.

On prouve avec x>0 que pour n\geq k>x, 0\leq \frac{x^n}{n!}\leq \left(\frac{x}{k}\right)^n\frac{k^k}{k!}

Les gendarmes font le reste:

\lim_{n\to +\infty}\frac{k^k}{k!}=\frac{k^k}{k!} (indépendant de n)

et \lim_{n\to +\infty}\left(\frac{x}{k}\right)^n=0 puisque x<k

donc \lim_{n\to +\infty}\left(\frac{x}{k}\right)^n\frac{k^k}{k!}=0

et \lim_{n\to +\infty}\frac{x^n}{n!}=0


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Posté par
homerere : Suite :Une question bac très difficile 14-11-08 à 12:53

bonjour cailloux,

je viens de lire ta brillante démonstration

D'accord pour les "gendarmes "  mais avant !! ...

   xn/n! <xn/k!  d'accord

  xn/n!<(xn/kn)(kn/k!)

et ensuite remplacer kn par un nombre plus petit kk dans le dernier facteur !!

j'ai besoin de tes lumières ...

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Posté par
cailloux Correcteurre : Suite :Une question bac très difficile 14-11-08 à 14:21

Bonjour homere

Voilà comment je vois la chose:

Pour k entier positif:

On peut montrer par récurrence sur n avec n\geq k que:

\frac{k^n}{n!}\leq \frac{k^k}{k!}

L' initialisation pour n=k est immédiate puis 3$\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{k}{n+1}\,\frac{k^n}{n!}\leq \frac{k}{n+1}\,\frac{k^k}{k!}\leq \frac{k^k}{k!} pour l' hérédité.

On a donc pour n\geq k: \frac{k^n}{n!}\leq \frac{k^k}{k!}

Du coup avec x>0 :

3$\frac{x^n}{n!}=\left(\frac{x}{k}\right)^n\,\frac{k^n}{n!}\leq \left(\frac{x}{k}\right)^n\,\frac{k^k}{k!}

On a donc pour n\geq k: 3$\frac{x^n}{n!}\leq \left(\frac{x}{k}\right)^n\,\frac{k^k}{k!} et on n' a pas de n dans le dernier terme \frac{k^k}{k!}

On peut passer aux gendarmes directement ensuite.




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Posté par
homerere : Suite :Une question bac très difficile 14-11-08 à 15:05

bonjour cailloux,

C'est superbe !!!  Merci pour la démonstration...

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Posté par
nipargre : Suite :Une question bac très difficile 14-11-08 à 15:50

bonjour
je vous donne une démonstration légerement différente:
x
on pose N=E(|x|) pour n>N on peut écrire:
\frac {|x^n|}{n!}={N!\frac{|x|^N|x|^{n-N}}{N!(N+1)(N+2)....n}<\frac{|x|^N}{N!}(\frac{|x|}{N+1})^{n-N}0 si n
deux remarques pour la démonstration
(N+1)(N+2).......n>(N+1)(N+1).....(N+1)=(N+1)^{n-N}(il ya n-N facteurs)
q=\frac{|x|}{N+1}<1 par définition de N donc q^{n-N}0 si n
j'espère qu'il n'y a pas d'erreur de raisonnement

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Posté par
nipargre : Suite :Une question bac très difficile 14-11-08 à 15:52

attention erreur de manipulation vous enlevez le N! du début et "ça marche!"

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