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Exercice sur l'arithmétique

Posté par
rominai25
22-10-14 à 13:16

Bonjour voici un exercice sur les suites et j'aimerais que vous me disiez si mon raisonnement est juste merci d'avance de vos réponses.

Exercice 2



On considère la suite (Un) définie par U0 = 1 pour tout entier naturel n, Un+1 = 2/3Un + 1/3n +1
1. Calculer U1,U2,U3 et en déduire que (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique


U1=2/3U0+1/30+1
U1=2/31+1/3*0+1
U1=5/3
U2=22/9
U3=89/27

Pour savoir si elle est arithmétique :                Pour savoir si elle est géométrique :
U1-U0=2/3                                             U1/U0=5/3
U2-U1=7/9                                             U2/U1=22/15
U3-U2=23/27                                           U3/U2=89/66

La suite ne présentant pas de constante, elle n'est ni arithmétique ni géométrique.

2.On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n, par Vn=Un-n

Un+1=2/3Un+1/3n+1
Vn=Un-n
donc : Vn=2/3Un+1/3n+1-n
V0=2/3Uo+1/30+1-0
V0=5/3
V1=2/3U1+1/31+1-1
V1=2/3(1+r)+1/3
V1=1+2/3r
V2=2/3U2+1/32+1-2
V2=2/3(1+2r)-1/3
V2=2/3+4/3r-1/3
V2=1/3+4/3r
V3=-1/3+2r

La suite (Vn) semble géométrique de raison q=2/3

n, Vn+1-Vn=2/3r
n,Vn+1-Vn=2/3(Un+1+1/3n+1-n)-(2/3Un+1/3n+1-n)
                               =2/3Un+1+1/3n+1+1-n-2/3Un-1/3-n-1-1+n
                               =2/3(Un+1-Un)
Vn est une suite géométrique de raison q=2/3. Donc Vn+1= (2/3)nUn

3. En déduire que, pour tout entier naturel n, Un = (2/3)n +n

La suite (Un) est une suite géométrique de raison q=2/3 et de premier terme U0=1 , n, U0(2/3)n
et Un-n=1(2/3)n donc Un=1(2/3)n+n

4.Pour tout entier naturel n, on pose Sn=U0+U1...Un. Exprimer Sn en fonction de n.

Je ne sais pas si il faut se servir de vn ou un .

Posté par
Fabien25c
re : Exercice sur l'arithmétique 22-10-14 à 13:20

Bonjour,

Il y a une erreur dans ta question 2.

Tu as écrit :

Vn=Un-n
donc : Vn=2/3Un+1/3n+1-n

Or Un (2/3)Un + (1/3)n + 1 !

Pour montrer qu'une suite est géométrique, tu pars de Vn+1 et tu montres que Vn+1 s'exprime en fonction d'une constante multipliée par Vn

Posté par
rominai25
re : Exercice sur l'arithmétique 27-10-14 à 16:59

Si j'ai bien compris c'est une erreur dans la rédaction et non dans le calcule ? :p

Posté par
Fabien25c
re : Exercice sur l'arithmétique 27-10-14 à 17:04

Il n'y a pas vraiment de rédaction ici. Tu as confondu Un+1 et Un.

Posté par
rominai25
re : Exercice sur l'arithmétique 28-10-14 à 12:25

Si j'ai bien compris il faut faire
Vn=Un-n
Vn+1=Un+1-n
C'est ça ?!

Posté par
Fabien25c
re : Exercice sur l'arithmétique 28-10-14 à 16:02

Oui tu pars de Vn+1 = Un+1 - n. Mais tu veux exprimer Vn+1 en fonction de Vn, comment tu fais (sachant que Vn s'exprime en fonction de Un et n) ?

Posté par
rominai25
re : Exercice sur l'arithmétique 29-10-14 à 16:19

Vn+1=qVn
soit Vn+1=qUn-n
Mais on ne connait pas Un est ce possible de faire : Vn+1=qUn+1-n

Posté par
rominai25
re : Exercice sur l'arithmétique 29-10-14 à 16:28

Vn=Upqn-p
Vn=Vp(2/3)n-p
Or Vn=Un-n
V0=U0-0
V0=1
Vn=V0(2/3)n-1
Vn=1(2/3)n
Vn=(2/3)n
Vn est une suite géométrique de raison 2/3

Posté par
rominai25
re : Exercice sur l'arithmétique 29-10-14 à 16:37

J'ai trouvé c'est ça :
Une suite géométrique est de la forme Vn+1=qVn
Vn+1=Un+1-n
Vn+1=(2/3)Un+(1/3)n-n
Vn+1=(2/3)Un-(2/3)
Vn+1=(2/3)(Un-1)
Vn+1=(2/3)Vn

Posté par
rominai25
re : Exercice sur l'arithmétique 29-10-14 à 18:34

Je pense avoir trouvé la question 4 en me basant sur des exemples :
Un=(2/3)n+n
Vn=Un-n
V0=1 et q=2/3
Vn=V0qn
Vn=12/3n
Ainsi Vn=2/3n
Sn=n+2/30....2/3n
Sn=n+2(1/31...1/3n
=n+2/Sn
Sn=V0(1-(2/3n+1)/1-(2/3))
=3(1-2/3n+1)
=3(3-2/3n)
Sn=n+23/3(3-(2/3)n)
=n+6/3(3-2n)

Posté par
Fabien25c
re : Exercice sur l'arithmétique 30-10-14 à 18:51


Vn=Upqn-p
Vn=Vp(2/3)n-p
Or Vn=Un-n
V0=U0-0
V0=1
Vn=V0(2/3)n-1
Vn=1(2/3)n
Vn=(2/3)n
Vn est une suite géométrique de raison 2/3.

FAUX : tu pars du principe que Vn est géométrique de raison 2/3 pour montrer qu'elle est géométrique de raison 2/3, tu comprends bien que ça n'a pas de sens ! ^^'

Vn+1=Un+1-n
Vn+1=(2/3)Un+(1/3)n-n
Vn+1=(2/3)Un-(2/3)n   /ca devient faux, car Un-1 Vn. Attention aux erreurs d'inattention)
Vn+1=(2/3)(Un-n)
Vn+1=(2/3)Vn

Mais c'est la méthode !


3. La suite (Un) est une suite géométrique de raison q=2/3 et de premier terme U0=1 , n, U0(2/3)n
et Un-n=1(2/3)n donc Un=1(2/3)n+n .

C'est faux, c'est Vn qui est géométrique; mais je pense que c'est juste une faute de frappe ici..

4. Sn est la somme de deux sommes connues :
0knqk et 0knk

Direction ton cours si tu ne les connais pas !

Posté par
Fabien25c
re : Exercice sur l'arithmétique 30-10-14 à 18:53

Sn=n+2/30....2/3n
C'est faux ..

Sn = [(2/3)0+0] + [(2/3)1+1] + [(2/3)2+2] + .. + [(2/3)n+n]

Posté par
rominai25
re : Exercice sur l'arithmétique 03-11-14 à 20:08

Pour ce qui est du cours on a bien vu les formules que je savais mais je ne savais pas comment les mettre en relation étant donnée que la suite était à la fois géométrique et arithmétique. C'est en me basant sur des exemples du bac de l'année dernière que j'ai compris qu'il était possible d'additionner deux formules de somme de suite.
Ainsi voila ce que j'ai obtenu :
La suite est (Un) est définie par Un=2/3^n+n
Donc : Sn=2/3^0+0+2/3^1+1.....2/3^n+n
Sn=(2/3^0+2/3^1...2/3^n) + (0+1+2+......n)
    suite géométrique    + suite arithmétique
On connait les formules :
Sn=((1-q^n+1)/1-q)) + (n(n+1))/2
On remplace : ((1-2/3^n+1)/1-2/3) + (n(n+1))/2
Il est possible de vérifier la formule à la calculatrice en allant dans le mod récurrence.

Et pour la 3 ma faute de frappe c'est 3. La suite (Vn) est une suite géométrique de raison q=2/3 et de premier terme U0=1 , n, U0(2/3)n
et Un-n=1(2/3)n donc Un=1(2/3)n+n .

Posté par
rominai25
re : Exercice sur l'arithmétique 03-11-14 à 20:13

Oups 3.
La suite (Vn) est une suite géométrique de raison q=2/3 et de premier terme V0=0 car
Vn=V0*q^n
Vn=Un-n
Vn=2/3^n+n-n
Vo=2/3^0+0-0
V0=0
,pour tout n, V0(2/3)n
et Un-n=(2/3)n donc Un=(2/3)n+n .

Posté par
gryd77
re : Exercice sur l'arithmétique 04-11-14 à 05:17

"La suite (Vn) est une suite géométrique ... de premier terme V0=0"
N'y compte pas, car ça n'arrive jamais ! Une suite comme ça à étudier, ce serait trop beau.

Quelle que soit la raison, si V0 = 0 , V1=V0 x q = 0 , V2=V1 x q = 0 , ...etc... Que des termes nuls



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