Bonjour voici un exercice sur les suites et j'aimerais que vous me disiez si mon raisonnement est juste merci d'avance de vos réponses.
Exercice 2
On considère la suite (Un) définie par U0 = 1 pour tout entier naturel n, Un+1 = 2/3Un + 1/3n +1
1. Calculer U1,U2,U3 et en déduire que (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique
U1=2/3U0+1/30+1
U1=2/31+1/3*0+1
U1=5/3
U2=22/9
U3=89/27
Pour savoir si elle est arithmétique : Pour savoir si elle est géométrique :
U1-U0=2/3 U1/U0=5/3
U2-U1=7/9 U2/U1=22/15
U3-U2=23/27 U3/U2=89/66
La suite ne présentant pas de constante, elle n'est ni arithmétique ni géométrique.
2.On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n, par Vn=Un-n
Un+1=2/3Un+1/3n+1
Vn=Un-n
donc : Vn=2/3Un+1/3n+1-n
V0=2/3Uo+1/3
0+1-0
V0=5/3
V1=2/3U1+1/31+1-1
V1=2/3(1+r)+1/3
V1=1+2/3r
V2=2/3U2+1/32+1-2
V2=2/3(1+2r)-1/3
V2=2/3+4/3r-1/3
V2=1/3+4/3r
V3=-1/3+2r
La suite (Vn) semble géométrique de raison q=2/3
n, Vn+1-Vn=2/3r
n,Vn+1-Vn=2/3(Un+1+1/3n+1-n)-(2/3Un+1/3n+1-n)
=2/3Un+1+1/3n+1+1-n-2/3Un-1/3-n-1-1+n
=2/3(Un+1-Un)
Vn est une suite géométrique de raison q=2/3. Donc Vn+1= (2/3)nUn
3. En déduire que, pour tout entier naturel n, Un = (2/3)n +n
La suite (Un) est une suite géométrique de raison q=2/3 et de premier terme U0=1 , n, U0
(2/3)n
et Un-n=1(2/3)n donc Un=1
(2/3)n+n
4.Pour tout entier naturel n, on pose Sn=U0+U1...Un. Exprimer Sn en fonction de n.
Je ne sais pas si il faut se servir de vn ou un .
Bonjour,
Il y a une erreur dans ta question 2.
Tu as écrit :
Vn=Un-n
donc : Vn=2/3Un+1/3n+1-n
Or Un (2/3)Un + (1/3)n + 1 !
Pour montrer qu'une suite est géométrique, tu pars de Vn+1 et tu montres que Vn+1 s'exprime en fonction d'une constante multipliée par Vn
Oui tu pars de Vn+1 = Un+1 - n. Mais tu veux exprimer Vn+1 en fonction de Vn, comment tu fais (sachant que Vn s'exprime en fonction de Un et n) ?
Vn=Upqn-p
Vn=Vp(2/3)n-p
Or Vn=Un-n
V0=U0-0
V0=1
Vn=V0(2/3)n-1
Vn=1(2/3)n
Vn=(2/3)n
Vn est une suite géométrique de raison 2/3
J'ai trouvé c'est ça :
Une suite géométrique est de la forme Vn+1=qVn
Vn+1=Un+1-n
Vn+1=(2/3)Un+(1/3)n-n
Vn+1=(2/3)Un-(2/3)
Vn+1=(2/3)(Un-1)
Vn+1=(2/3)Vn
Je pense avoir trouvé la question 4 en me basant sur des exemples :
Un=(2/3)n+n
Vn=Un-n
V0=1 et q=2/3
Vn=V0qn
Vn=12/3n
Ainsi Vn=2/3n
Sn=n+2/30....2/3n
Sn=n+2(1/31...1/3n
=n+2/Sn
Sn=V0(1-(2/3n+1)/1-(2/3))
=3(1-2/3n+1)
=3(3-2/3n)
Sn=n+23/3(3-(2/3)n)
=n+6/3(3-2n)
Vn=Upqn-p
Vn=Vp(2/3)n-p
Or Vn=Un-n
V0=U0-0
V0=1
Vn=V0(2/3)n-1
Vn=1(2/3)n
Vn=(2/3)n
Vn est une suite géométrique de raison 2/3.
FAUX : tu pars du principe que Vn est géométrique de raison 2/3 pour montrer qu'elle est géométrique de raison 2/3, tu comprends bien que ça n'a pas de sens ! ^^'
Vn+1=Un+1-n
Vn+1=(2/3)Un+(1/3)n-n
Vn+1=(2/3)Un-(2/3)n /ca devient faux, car Un-1 Vn. Attention aux erreurs d'inattention)
Vn+1=(2/3)(Un-n)
Vn+1=(2/3)Vn
Mais c'est la méthode !
3. La suite (Un) est une suite géométrique de raison q=2/3 et de premier terme U0=1 , n, U0(2/3)n
et Un-n=1(2/3)n donc Un=1(2/3)n+n .
C'est faux, c'est Vn qui est géométrique; mais je pense que c'est juste une faute de frappe ici..
4. Sn est la somme de deux sommes connues :
0
k
nqk et
0
k
nk
Direction ton cours si tu ne les connais pas !
Pour ce qui est du cours on a bien vu les formules que je savais mais je ne savais pas comment les mettre en relation étant donnée que la suite était à la fois géométrique et arithmétique. C'est en me basant sur des exemples du bac de l'année dernière que j'ai compris qu'il était possible d'additionner deux formules de somme de suite.
Ainsi voila ce que j'ai obtenu :
La suite est (Un) est définie par Un=2/3^n+n
Donc : Sn=2/3^0+0+2/3^1+1.....2/3^n+n
Sn=(2/3^0+2/3^1...2/3^n) + (0+1+2+......n)
suite géométrique + suite arithmétique
On connait les formules :
Sn=((1-q^n+1)/1-q)) + (n(n+1))/2
On remplace : ((1-2/3^n+1)/1-2/3) + (n(n+1))/2
Il est possible de vérifier la formule à la calculatrice en allant dans le mod récurrence.
Et pour la 3 ma faute de frappe c'est 3. La suite (Vn) est une suite géométrique de raison q=2/3 et de premier terme U0=1 , n, U0(2/3)n
et Un-n=1(2/3)n donc Un=1(2/3)n+n .
Oups 3.
La suite (Vn) est une suite géométrique de raison q=2/3 et de premier terme V0=0 car
Vn=V0*q^n
Vn=Un-n
Vn=2/3^n+n-n
Vo=2/3^0+0-0
V0=0
,pour tout n, V0(2/3)n
et Un-n=(2/3)n donc Un=(2/3)n+n .
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