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Exercice sur la droite d'Eluer

Posté par
bae14
04-11-20 à 14:19

Bonjour,
J'ai un DM à rendre pour demain que j'ai commencé a faire pendant les vacances  mais la il me reste juste cette après-midi pour je faire et je bloque complètement sur le dernier exercice :

Soit ABC un triangle quelconque.
Soit A', B', C' les milieux respectifs des coté [BC], [AC] et [AB].
On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC,
G son centre de gravité et H le point tel que :
OH = OA + OB + OC
Le but de cet exercice est de démontrer que les points O, G et H sont alignés.

a.   Démontrer que OB + OC = 2OA'
b.   En déduire l'expression de vecteur AH en fonction du vecteur OA'.
c.   Que peut-on conclure pour les droites (AH) et (BC) ?
d.   Démontrer de même que la droite (BH) est perpendiculaire à la droite (AC).
e.   Que représente le point H pour le triangle ABC ?


Voilà mon exercice, ce qui est en italique et gras ce sont des vecteurs, j'ai représenté la figure sur geogebra et je l'ai rattacher a mon poste. Pouvez-vous m'aider s'il vous plait

Exercice sur la droite d\'Eluer

Posté par
hekla
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 14:31

Bonjour

Que proposez-vous ?

À l'aide de la relation de Chasles  faites intervenir le point A'

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 14:42

Je sais pas comment démontrer et deduir tout ça...

Posté par
Maru0
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 14:44

a) imagine le parallélogramme OBCD avec D à construire. Comment se coupent les diagonales d'un parallélogramme ?
b) utiliser la définition de H dans a)
c) Quelle est l'intersection des médiatrices d'un triangle ?
d) Tout est symétrique en A,B,C
e) Regarde c'est que l'orthocentre d'un triangle

Conclusion : regarde ce qu'est la droite d'Euler d'un triangle

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 14:47

On a rien vu de tout ça T-T Je sais pas c'est quoi une droite d'eluer moi T-T

Posté par
Maru0
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 14:53

Mais tu as internet à ta disposition
Ce sont des noms pas forcément vus en classe, mais les résultats devraient être accessibles pour un élève de lycée.

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 14:57

Et le fait que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu ne va rien m'apporter de plus pour répondre à ma question... -_-

Posté par
hekla
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 14:59

Pour la première question il n'y a besoin que de la relation de Chasles

\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}  Ici on a introduit le point B

faites de même en introduisant le point A'

Posté par
Maru0
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 15:03

Je te donne des indications, pas la solution.
Dans un parallélogramme EFGH, tu as toujours \overset{\rightarrow}{EF} + \overset{\rightarrow}{EH} = \overset{\rightarrow}{EG}

Les relations de Chasles fonctionnent aussi, effectivement (j'ai l'impression ce que je propose se voit un peu mieux sur le dessin, mais ça reste personnel).

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 15:25

Ooohhh je viens de comprendre, si je forme le parallélogramme  OBCD (comme vous l'avez dit précédemment),

OBCD est un parallélogramme ssi OB = CD
                                                                      ssi OC = OB + OD

Si I milieu de OC : OI = 1/2OC
                                                                OI = 1/2OC
OBCD parallélogramme ssi{
                                                                BI = 1/2BD
                                          
Donc : OB = BO    u \begin{pmatrix} \ x \\y \end{pmatrix} ssi -u \begin{pmatrix} \--x \\-y \end{pmatrix}

u \begin{pmatrix} \ x \\y \end{pmatrix} ssi  ku  \begin{pmatrix} \ kx \\ky \end{pmatrix}     k \neq 0


Ou bien c'est pas du tout ça et je me suis complètement tromper °-°'

Posté par
Maru0
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 15:27

Par contre j'ai fait une faute de frappe
Je voulais dire le parallélogramme OBDC, et pas OBCD

Posté par
hekla
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 15:28

On ne parle pas de coordonnées

Juste la relation de Chasles   et oui il faudra utiliser le fait que A' est le milieu de [BC]

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 15:38

Le problème de frappe c'est pas grave ça peut se réglé, merci beaucoup à vous deux j'ai compris la question a

Posté par
hekla
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 15:39

Et les autres ?

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 15:46

Et bien j'aimerais bien un peu d'aide aussi svp °-°'

Posté par
Maru0
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 15:47

Mon message de 14h44 ne te permet même pas d'avancer un petit peu ?

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 15:50

Je comprends pas vous voulez dire quoi en disant : utiliser la définition de H dans a)

Posté par
Maru0
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 15:52

H est défini par OH = OA + OB + OC
Or a) te donne OB + OC = 2OA'
Donc AH = ?

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 15:53

Et je voulais savoir si c'était bon ou si il y avait des choses à changer ou a rajouter...

OBDC est un parallélogramme ssi OB = DC
                                                                      ssi OD = OB + OC

Si A' milieu de OD : OA' = 1/2OD
                                                                OA' = 1/2OD
OBCD parallélogramme ssi{
                                                                BA' = 1/2BC

Donc A' est le milieu du parallélogramme OBDC.

Posté par
Maru0
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:00

C'est assez étrangement rédigé. Qu'est-ce que le milieu d'un parallélogramme ?
Tu as compris l'idée, donc je vais le rédiger pour ne pas y passer trop de temps.

Soit D le point défini par OD = OB + OC
Alors OBDC est un parallélogramme.
Donc ses diagonales, [OD] et [BC], se coupent en leur milieu.
Or A' est le milieu de [BC]. Donc A' est le milieu de [OD]
Donc 2OA' = OD = OB + OC

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:04

Donc AH =  OA + OB  parce que OH = OA + OB + OC et AH = OH-1 Fin je sais pas trop comment dire... mais du coup AH = 2OA

Posté par
hekla
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:05

Quelle simplicité!!

\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OA'}+\vec{A'B}+\vec{OA'}+\vec{A'C}= 2\vec{OA'}

\vec{A'C}+\vec{A'B}=\vec{0} car A' milieu de [BC]

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:08

D'accord, je n'avais pas d'exemple de rédaction, et l'année dernière la leçon sur les vecteurs on devait la faire pendant le confinement mais on a jamais eu de leçon bref merciii et du coup je pense que ma réponse de dessus est juste...

Posté par
hekla
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:08

???
 \vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}   or on vient de montrer que \vec{OB}+\vec{OC}=2\vec{OA'}

Donc \vec{AH}=

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:08

Ca veut dire que ce que j'ai écrit c'est faux ??

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:11

AH = 2OA' ??

Posté par
Maru0
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:12

Ouais, Chasles est assez sympa pour la a) hekla
C'est simplement une deuxième méthode, à toi de voir celle que tu comprends le mieux.

Pour bae14, utilise AH = AO + OH puis utilise a)

Posté par
hekla
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:13

Aucune nécessité d'utiliser un point D et un parallélogramme.

Posté par
Maru0
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:14

C'est une question de point de vue, personnellement le Chasles je le trouve sorti du chapeau, alors que sur le dessin introduire le parallélogramme me semble assez naturel

Posté par
hekla
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:16

Beaucoup  moins que d'introduire un nouveau point

Posté par
Maru0
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:18

Au moins ça donne deux intuitions d'un même problème. Et si ça permet de mieux comprendre ce qu'il se passe, pourquoi pas...

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:20

Maru0 @ 04-11-2020 à 16:12


Pour bae14, utilise AH = AO + OH puis utilise a)




AH ne peut pas être égale à AO + OH parce que AO + OH est plus grand que AH

Posté par
hekla
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:21

Ce n'est pas en distance mais en vecteurs

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:23

Je comprends pas c'est trop compliquer T_T

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:24

Je suis perdue y'a trop de lettre T_T

Posté par
Maru0
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:25

Au lieux d'écrire \overset{\rightarrow}{AB} on choisit d'écrire AB, parce que c'est plus rapide au clavier.
Si ça t'induit en erreur, on peut revenir aux flèches, ou en gras

Le dessin est fait pour ne pas se perdre avec les lettres, si tu as un doute sur ce qu'il se passe regarde le dessin

Posté par
hekla
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:32

Vous n'avez jamais entendu parler de la relation de Chasles  Ou comment additionne-t-on deux vecteurs ?

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:37

Je me repère avec le dessin, mais enfaite je me perds parce que je comprends pas comment AH = AO + OH

Et nan je me souviens pas avoir appris la relation de chasles...

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:37

Enfaite c'est pas logique pour moi

Posté par
Maru0
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:47

Prends 3 points A,B et C. Tu vois que c'est la même chose d'aller de A à B directement ou de A à C puis de C à B : on arrive au même point.
En écrivant ça avec des vecteurs, ça donne la relation de Chasles : \overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{CB}

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:47

AH = 2OA'

Parce que il est demander en fonction du vecteur OA' et on sait que 2OA'= OD = OB+OC
Et O étant le centre du cercle, OA est le rayon donc comme OB + OC = 2OA', AH = 2OA'  

Posté par
Maru0
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:50

J'ai pas compris d'où sors ton AH à la fin... Tu peux préciser ?

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:56

Je sais pas je viens de voir que ça a aucun rapport avec ce qu'il y avait avant...

Posté par
hekla
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 16:58

Construction de la somme de deux vecteurs

On dit que \vec{AD} est la somme des vecteurs \vec{AC} et \vec{AB}

Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme si et seulement si \vec{AC}=\vec{BD}

\vec{AB}+\vec{BD}= \vec{AD} est la relation de Chasles

Voir ici sur les vecteurs Vecteurs

Exercice sur la droite d\'Eluer

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 17:05

Mais du coup ça m'aide pas a savoir comment trouver AH

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 17:14

Ca fait 3h que je suis dessus et en 3h j'ai pu répondre qu'a une seule question T-T

Posté par
hekla
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 17:19

Rekation de Chasles \vec{AO}+\vec{OH}=\vec{AH}

Posté par
bae14
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 17:25

Mais a quoi ca sert de faire ça, ils demandent en fonction de OA' dans l'énoncer

Posté par
Maru0
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 17:34

On te donne des indications, pas la solution ,c'est à toi de travailler un peu.
Utilise la question a)

Posté par
hekla
re : Exercice sur la droite d'Eluer 04-11-20 à 17:35

\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}

question précédente \vec{OB}+\vec{OC}=2\vec{OA'}

 \vec{OH}=\vec{OA}+2\vec{OA'}

On ajoute \vec{AO} aux deux membres

\underbrace{\vec{AO}+\vec{OH}}_{\vec{AH}}=\underbrace{\vec{AO}+\vec{OA}}_{\vec{0}}+2\vec{OA'}

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