Soit ABC un triangle , H son orthocentre et C son cercle circonscrit .La droite (AGH) coupe (BC) en A' et C en E , (BH) coupe (AC) en B' et (CH) coupe (AB) en C'.
1) Démontrer que ( , = ( , )[2pie]
2) Prouver que les triangles CA'E et CHA' sont isométriques .
3) Démontrer que dans un triangle , le symétrique de l'orthocentre par rapport a un des cotés du triangle est sur le cercle circonscrit .
J'ai réussi a faire le dessin et pour la question 1) je crois qu'il est question d'angles alternes-internes mais j'arrive pas a le démontrer !!
Merci de m'aider
a la question une c'est : (vecteur AB , vecteur AE )=(vecteur CH,vecteur CA')
oui je sais mais c'est marqué dans l'énoncé
EN fait dans l'énoncé il y a 2 C mais ma prof les a écrit pareil mais j'en ai déduis qui y'en a 1 qui est le point C et l'autre c'est le cercle C . La le point E c'est le point d'intersection de C (cercle ) avec la droite (AGH).
Ok, je pense avoir réussi à faire la figure en imaginant ce qu'étaient tes points!
1.
et
Or: (angles opposés par le sommet)
d'ou l'égalité, modulo
dsl mais j'ai recopié l'énoncé tel qu'il est
2. Pour montrer que les triangle CA'H et CA'E sont isométriques:
- un angle droit tous les 2 (rectangles en A')
- CA' en commun
- il ne reste plus qu'à montrer soit que CH=CE ou A'H=A'E (ce qui ne semble pas évident à montrer) soit à montrer l'égalité des angles.
cad: montrons que .
Or, les points A, B, C et E étant sur le même cercle (C):
mod(2pi)
(cocyclicité de points)
et on a montré à la 1ère question:
.
D'ou: .
et par conséquent les deux triangles sont isométriques.
3. Si deux triangles sont isométriques alors leurs côtés sont 2 à 2 égaux et leurs angles aussi.
on en déduit que A'H=A'E.
et en plus, (A'H) perpendiculaire à (BC): c la hauteur
donc E est le symétrique de H par rapport à (BC).
Ce qui te permet de conclure ds le cas général.
je n'ai pas encore appris la cocyclicité de points :S
ah si j'ai compris c'est parce que nous on a jamais parlé de cocyclicité de points on dit juste qu'ils interceptent le meme arc de cercle .
Merci beaucoup Dolphie
oui c la même chose: tu peux aussi passer par l'nagle au centre....
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