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exercice sur le principe du raisonnement par récurrence
Bonjour, je suis actuellement en Terminal et j'ai un petit souci sur un exercice pourriez-vous m'aider..
Voila l'énoncé :
1. calculer les restes de la division euclidienne de 1, 4, 42, 43 par 3.
2. Formulez, pour tout n appartenant N, une hypothèse P(n) concernant le reste de la division euclidienne de 4n par 3. Démontrer que P(n) est vérifier pour tout n appartenant a N.
3. Pour tout n appartenant N, le nombre 16n + 4n + 3 est-il divisible par 3.
Voici mes premières recherches :
1. je commencer par 1 et j'ai dit : n=1, on a 11 = 1 (3)
1
3 , donc le reste de la divison euclidienne de 1 par 3 est 1.
Pour 4 : n=1 on a 41 = 4 (3)
et ici je trouve bizard que l'on trouve un nombre supérieu a 3
Pour les suivant je suppose qu'il faut se servir des précédents mais d'abord pour le 4 je ne suis pas certaine de mon résultat pourriez-vous me guider.
Merci
exacte c'est bon j'ai saisie, le problème c'était que je le faisait a la calcultatrice mais j'ai mieu et j'ai compris en le faisiat à la main.. je passe donc à la question suivante =)
Pourriez-vous me corriger ..
P(n) "Le rste de la division euclidienne de 4n par 3 est égale à 1"
Montrons que P(n) est vrai pour tout n 
Initialisation:
Si n=1 P(n)=41 soit 4 donc 4 divisé par 3 : il reste 1.
Hérédité :
Supposons que P(n) est vraie.
P(n)= 4n par 3 est égale a 1.
Montrons que P(n+1) est vraie.
P(n+1)= 4n+1 par 3 est égale a 1
En effet :
Si n=1 =>
P(n)=41 = P(n+1)= 41+1
P(n)=41 = P(n+1)= 42
P(n)= 4 = P(n+1) = 16
P(n)= 1 = P(n+1) = 1
On retrouve bien notre hypothèse de départ, la propriété est héréditaire d'après p.r.r la propriété P(n) est vraie pour tout n
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